極限比較審斂法

極限比較審斂法是判別级数斂散性的一種方法。

无穷级数
${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}}$
无穷级数
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查 论 编

描述

假设存在两个级数${\displaystyle \Sigma _{n}a_{n}}$与${\displaystyle \Sigma _{n}b_{n}}$，且对于任意${\displaystyle n}$都有${\displaystyle a_{n},b_{n}\geq 0}$。

如果${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$（${\displaystyle 0<c<\infty }$），那么两级数同时收敛或发散。

证明

对${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c}$，我们知道对于任意${\displaystyle \varepsilon >0}$都存在一正整数${\displaystyle n_{0}}$使得当${\displaystyle n\geq n_{0}}$ 时有${\displaystyle \left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon }$，等价于

${\displaystyle -\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon }$

${\displaystyle c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon }$

${\displaystyle (c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$

由于${\displaystyle c>0}$，我们可以让${\displaystyle \varepsilon }$足够小使得${\displaystyle c-\varepsilon }$为正。 因此${\displaystyle b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}}$，根据比较审敛法，如果${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$收敛，则${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$同样收敛。

类似地，${\displaystyle a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}}$，如果${\displaystyle \sum _{n}b_{n}}$收敛，根据比较审敛法，${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$亦收敛。

因此二者同时收敛或发散。

例子

判断${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}}$是否收敛。我们将其与收敛级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$进行比较。

由于${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0}$，我们可以得出原级数收敛。

参见

• 审敛法
• 比较审敛法

参考来源

• Rinaldo B. Schinazi: From Calculus to Analysis. Springer, 2011, ISBN 9780817682897, pp. 50 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Michele Longo and Vincenzo Valori: The Comparison Test: Not Just for Nonnegative Series. Mathematics Magazine, Vol. 79, No. 3 (Jun., 2006), pp. 205–210 (JSTOR （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• J. Marshall Ash: The Limit Comparison Test Needs Positivity. Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 5 (December 2012), pp. 374–375 (JSTOR （页面存档备份，存于互联网档案馆）)

外部链接

• Pauls Online Notes on Comparison Test