正三角形鑲嵌

在幾何學中，正三角形鑲嵌、又稱為正三角方格^[3]是一種正多邊形在平面上的密鋪，又稱正鑲嵌圖。

正三角形鑲嵌

類別	正鑲嵌
對偶多面體	正六邊形鑲嵌
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	trat
數學表示法
考克斯特符號 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	=
施萊夫利符號	{3,6} {3[3]}
威佐夫符號 （英语：Wythoff symbol）	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
康威表示法	dH
特殊面或截面
梵奧斯截面 （英语：Van_Oss_polygon）	無限邊形[2]
組成與佈局
頂點圖	3.3.3.3.3.3（或36）
頂點佈局 （英语：Vertex_configuration）	36
對稱性
對稱群	p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3[3]], (*333) p3, [3[3]]+, (333)
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	p6, [6,3]+, (632) p3, [3[3]]+, (333)
圖像
3.3.3.3.3.3（或36） （頂點圖） 正六邊形鑲嵌 （對偶多面體）

命名

康威稱正三角形鑲嵌為deltille。deltille一詞來自於外形為三角形的希臘字母 Delta （Δ），有時也稱作六角化正六邊形鑲嵌。

性質

由於正三角形鑲嵌是由正三角形組成，又因正三角形內角為60度，因此每個頂點周圍都有6個三角形，且剛好占滿360度；換句話說，即每個頂點都是6個正三角形的公共頂點。

正三角形鑲嵌在施萊夫利符號中，用{3,6}表示。

正三角形鑲嵌是三個的平面正鑲嵌圖之一。另外兩個是正方形鑲嵌和正六邊形鑲嵌。

一般將畫在紙上的正三角方格稱作正三角格紙^[3]，正三角格紙是用來畫三維立體圖或三維透視圖用的。使用正三角格紙作圖會比較容易做出三維立體圖或三維透視圖，而且圖形看起來比較接近三維^[3]。

上色的正三角形鑲嵌

正三角形鑲嵌有九種不同的上色方式，他們依頂點周為顏色數來命名： 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314。

上色 索引	111111	121212	121314	121213
圖示	1 1 1 1 1 1	1 2 1 2 1 2	1 3 1 4 1 2	1 2 1 3 1 2
上色
對稱群	*632 (p6m) [6,3]	*333 (p3m1) [3[3]] = [1+,6,3]	333 (p3) [3[3]]+	3*3 (p31m) [6,3+]
Wythoff符号（英语：Wythoff symbol）	6 | 3 2	3 | 3 3	| 3 3 3
考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin Diagram）		=

A2晶格和圆堆砌

正三角形镶嵌的顶点排布被称作A₂晶格^[4]。正三角形镶嵌是单纯形堆砌（英语：Simplectic honeycomb）家族的二维成员。

A₂^*晶格（又称A₂³），可由所有3种A₂晶格组合得来，就等价于A₂晶格。

+ + = 的对偶 =

以正三角形镶嵌的顶点为圆心，我们可以得到二维的最密圆堆砌（英语：Circle Packing），每个圆都与6个相邻圆接触（接触数（英语：kissing number）），堆砌密度为${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}}$或90.69%。由于3个A₂晶格组合还是A₂晶格，这种圆堆砌种的圆可被涂成三种颜色。

A₂晶格的沃罗诺伊图是正六边形镶嵌，它也是正三角形镶嵌的对偶。因此，正六边形镶嵌也与最密圆堆砌有直接的对应关系。

A2晶格圆堆砌	A* 2晶格圆堆砌
正六边形镶嵌

相關半正鑲嵌

正三角形镶嵌家族的半正镶嵌

对称性: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)	[1+,6,3], (*333)	[6,3+], (3*3)
{6,3}	t0,1{6,3}	t1{6,3}	t1,2{6,3}	t2{6,3}	t0,2{6,3}	t0,1,2{6,3}	s{6,3}	h{6,3}	h1,2{6,3}
半正对偶
V6.6.6	V3.12.12	V3.6.3.6	V6.6.6	V3.3.3.3.3.3	V3.4.12.4	V.4.6.12	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.3.3

从六邊形鑲嵌可利用“交错”操作將六邊形鑲嵌變成三角形鑲嵌。

交錯2n邊形鑲嵌系列：

	球面鑲嵌	多面體	歐式鑲嵌	緊湊雙曲鑲嵌				仿緊空間	非緊空間
n	1	2	3	4	5	6		∞
2n邊形鑲嵌	{2,3}	{4,3}	{6,3}	{8,3}	{10,3}	{12,3}		{∞,3}	{iπ/λ,3}
交錯2n邊形鑲嵌	h{2,3}	h{4,3}	h{6,3}	h{8,3}	h{10,3}	h{12,3}	...	h{∞,3}	h{iπ/λ,3}

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