正割

正割（secant，${\displaystyle \sec }$）是三角函数的一种。它的定义域是不含${\displaystyle k\pi +{\tfrac {\pi }{2}}}$（或180°k+90°，其中${\displaystyle k}$為整數）的整个实数集，值域是絕對值大於等于一的实数。它是周期函数，其最小正周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）。

正割
性質
奇偶性	偶
定義域	${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq k\pi +{\tfrac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} |x\neq 180^{\circ }k+90^{\circ },\,k\in \mathbb {Z} \right\}}$
到達域	${\displaystyle \left|\sec x\right|\geq 1}$
周期	${\displaystyle 2\pi }$ （360°）
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性質
渐近线	${\displaystyle x=\left(2k+1\right){\tfrac {\pi }{2}}}$ （x=180°k+90°）
根	無實根
臨界點	${\displaystyle k\pi }$ （180°k）
不動點	當x軸為弧度時： -2.07393280909121...[註 1] （-118.827596954637699...°） -4.487669603341...[註 2] （-257.12452812059255...°） 4.9171859252871...[註 3] （281.734000600083215...°） 7.72415319239641...[註 4] （442.5613782368157...°） ... 當x軸為角度時： -90.6321919494646472...° -269.787625875998245...° 89.358798727133722...° 270.212040552238203...°
k是一個整數。

正割是三角函数的正函數（正弦、正切、正割、正矢）之一，所以在${\displaystyle 2k\pi }$（360°k）到${\displaystyle 2k\pi +{\frac {\pi }{2}}}$（360°k+90°）的區間之間，函數是遞增的，另外正割函数和餘弦函数互為倒數。

在單位圓上，正割函数位於割線上，因此將此函數命名為正割函数。

和其他三角函數一樣，正割函数一樣可以擴展到複數。

符号史

正割的数学符号为${\displaystyle \sec }$，出自英文secant。该符号最早由数学家吉拉德·笛沙格在他的著作《三角学》中所用。

定义

直角三角形中

直角三角形，${\displaystyle \angle C}$為直角，${\displaystyle \angle A}$的角度為 ${\displaystyle \theta }$， 對於${\displaystyle \angle A}$而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角${\displaystyle \angle A}$的正割定义为它的斜邊与鄰邊的比值，也就是：

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {c} }{\mathrm {b} }}\,\!}$

可以發現其定義和餘弦函數互為倒數。

直角坐标系中

设${\displaystyle \alpha }$是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，${\displaystyle P\left({x,y}\right)}$是角的终边上一点，${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0}$是P到原点O的距离，则${\displaystyle \alpha }$的正割定义为：

${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {r}{x}}\,\!}$

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角${\displaystyle \theta }$，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于${\displaystyle \sin \theta }$。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}$。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\pi }$（360°）或小于${\displaystyle -2\pi }$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正割变成了周期为${\displaystyle 2\pi }$（360°）的周期函数：

${\displaystyle \sec \theta =\sec \left(\theta +2\pi k\right)=\sec \left(\theta +360^{\circ }k\right)}$

对于任何角度${\displaystyle \theta }$和任何整数${\displaystyle k}$。

與其他函數定義

正割函數和餘弦函數互為倒數

即：^[1]

${\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}$

級數定義

正割也能使用泰勒級數來定義：

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+{\frac {50521x^{10}}{3628800}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}x^{2n}.}$

其中${\displaystyle E_{n}}$为欧拉数。

另外，我们也有

${\displaystyle \sec x=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1-2n)}{(2n\pi -\pi )^{2}-4x^{2}}}=4\pi \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(1+2n)}{(\pi +2n\pi )^{2}-4x^{2}}}.}$

微分方程定義

${\displaystyle \sec 'x\ =\sec x\tan x}$

${\displaystyle \sec x=\left(\ln \left|\sec x+\tan x\right|\right)'}$

指數定義

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{{\mathrm {i} }\theta }+e^{-{\mathrm {i} }\theta }}}\,}$

恆等式

用其它三角函数来表示正割

函數	${\displaystyle \sin }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \tan }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {1 \over \cos \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$

和差角公式

${\displaystyle \sec(\theta \pm \psi )={\frac {\sec \theta \sec \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}}$

巴罗的正割積分

艾萨克·巴罗在1670年提出正割的積分

${\displaystyle \int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)}$