无量纲量

在量綱分析中，無量綱量^[1]（dimensionless quantity）又称无因次量、量纲为一的量^[2][3]（quantity of dimension one）^{[註 1]}指的是沒有量綱的量。它是個單純的數字，量綱為1^[4]。

無量綱量在數學、物理學、工程學、經濟學以及日常生活中（如數數）被廣泛使用。一些廣為人知的無量綱量包括圓周率（π）、歐拉常數（e）和黃金分割率（φ）等。與之相對的是有量綱量，擁有諸如長度、面積、時間等單位。

無量綱量常寫作兩個有量綱量之積或比，但其最終的綱量互相消除後會得出無量綱量。比如，應變是量度形變的量，定義為長度差與原先長度之比。但由於兩者的量綱均為L（長度），因此相除後得出的量是沒有量綱的。

屬性

• 雖然無量綱量本身沒有量綱，但是它也有時被加以無量綱的單位。在分子和分母使用同樣的單位（kg/kg或mol/mol），有時可以幫助表達所測量的數值（如質量百分濃度或摩爾分數等）。某些量還可以表示為不同的單位之比，但這兩個單位的量綱相同（如光年除以米）。這種做法可以用於計算圖表中的斜率，或者進行單位轉換。這樣的寫法並不意味著存在量綱，而只不過是符號表達上的慣例。其他常用的無量綱量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百萬分比；ppb=10⁻⁹，十億分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（萬億分比）以及角單位（度、弧度、百分度）等等。

• 兩個具有相同量綱之比是沒有量綱的，而且無論用甚麼單位計算，該量還是不變的。例如，如果物體A對物體B施大小為F的作用力，那B也會向A施大小為f的力。兩個力的比率F/f永遠等於1（見牛頓第三定律），而不取決於測量F和f所用的單位。這是因為物理中一個重要的假設：物理定律是獨立於人們選用的單位制的。如果以上的F/f不經常等於1，而在我們從國際單位制轉用厘米-克-秒制時改變了的話，這就意味著牛頓第三定律的真偽要看我們選取哪一種單位制，而這就與假設矛盾了。這一假設是白金漢π定理的基礎，其表述為：所有物理定律均能以數個無量綱量的數學組合（加、減、乘、除等等）寫成恆等式。如果無量綱量組合後的值在替換所用單位制後改變了的話，那麼白金漢π定理就不成立了。

白金漢π定理

白金漢π定理的另一項推論為，如果n個變數之間有某種函數關係，而這些變數中有k個獨立的量綱，則可以產生p = n − k個獨立的無量綱量。

例子

某磁力攪拌器的電功率是被攪拌液體的密度和黏度、攪拌器的直徑及攪拌速度的函數。因此這裡共有n = 5個變量

這n = 5個變量共由以下k = 3個量綱組成：

• 長度：L (m)
• 時間：T (s)
• 質量：M (kg)

根據該定理，通過組合這n = 5個變量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2個獨立的無量綱量。此例中的這兩個無量綱量分別為：

• 雷諾數（描述流體流動的無量綱量）
• 功率數（描述攪拌器，同時包含流體密度的無量綱量）

例子

• 在10個蘋果中，有1個是壞了的。總蘋果數中壞蘋果的比例為1個蘋果/10個蘋果= 0.1 = 10%，這是個無量綱量。
• 角：角的定義為，以圓心為頂點劃出的弧的長度除以某另一長度。這個比率由長度除以長度所得，因此是個無量綱量。當所用的（無量綱）單位為弧度時，那個「另一長度」就是圓的半徑。當單位為角度時，「另一長度」就是圓周長的360分之1。
• 圓周率是個無量綱量，定義為圓周長與直徑之比。該數值無論在用甚麼單位量度這些長度時（厘米、英里、光年等等）都會是相同的，只要周長和直徑以同樣的單位量度。

無量綱量列表

下表中所有的量均為無量綱量：

名稱	標準符號	定義	應用範疇
阿贝数	V	${\displaystyle V={\frac {n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}}}$	光學（光的色散）
活度系數	γ	${\displaystyle \gamma ={\frac {a}{x}}}$	化學（活躍分子或原子佔總數之比）
反照率	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\alpha }=(1-D){\bar {\alpha }}(\theta _{i})+D{\bar {\bar {\alpha }}}}$	氣候學、天文學
勞侖茲因子	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$	相對論
阿基米德數	Ar	${\displaystyle Ar={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}}$	密度差造成的流體運動
阿倫尼烏斯數	${\displaystyle \alpha }$		活化能與熱能之比[5]
相對原子質量	M		化學
伯格诺德数	Ba	${\displaystyle Ba={\frac {\rho d^{2}\lambda ^{1/2}\gamma }{\mu }}}$	固體塊的流動（如米粒或沙子）[6]
比贊數 （熱力學）	Be	${\displaystyle Be={\frac {{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}+{\dot {S}}'_{gen,\Delta p}}}}$	熱傳導不可逆性與由於熱傳導和流體阻力的總不可逆性之比[7]
比贊數 （流體力學）	Be	${\displaystyle Be={\frac {\Delta P.L^{2}}{\mu \alpha }}}$	沿著通道的壓力差[8]
賓漢數	Bm	${\displaystyle Bm={\frac {\tau _{y}L}{\mu V}}}$	屈服應力與黏滯應力之比[5]
毕奥数	Bi	${\displaystyle Bi={\frac {hL_{C}}{\ k_{b}}}}$	固體的表面傳導率與體積傳導率之比
布莱克数（英语：Blake number）	Bl或B	${\displaystyle B={\frac {V\rho }{\mu (1-\epsilon )D}}}$	流體穿過多孔介質時慣性相對黏滯力的重要性
博登斯坦数	Bo	${\displaystyle Bo=Re\cdot Sc=vL/{\mathcal {D}}}$	停留時間的分佈
邦德數	Bo	${\displaystyle Bo={\frac {\rho aL^{2}}{\gamma }}}$	由浮力推動的毛細作用[9]
布林克曼數	Br	${\displaystyle Br={\frac {\mu U^{2}}{\kappa (T_{w}-T_{0})}}}$	從容器壁到黏性流體的熱傳導
Brownell-Katz數			毛細管數和邦德數的組合
毛細管數	Ca		受表面張力影響的流體流動
錢德拉塞卡數（英语：Chandrasekhar number）	${\displaystyle \ Q}$	${\displaystyle {Q}\ =\ {\frac {{B_{0}}^{2}d^{2}}{\mu _{0}\rho \nu \lambda }}}$	磁對流，用以表達洛伦兹力與黏度之比
靜摩擦係數	${\displaystyle \mu _{s}}$		物體間的靜摩擦
動摩擦係數	${\displaystyle \mu _{k}}$		物體互相滑動時的摩擦
柯尔伯恩j因数			熱傳導的無量綱係數
庫朗數	${\displaystyle \nu }$		雙曲型偏微分方程之解[10]
达姆科勒数	Da	${\displaystyle Da=k\tau }$	反應時間與共振時間之比
阻尼比	${\displaystyle \zeta }$	${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$	系統中阻尼的程度
達西阻力係數	${\displaystyle C_{f}}$或${\displaystyle f}$		流體流動
狄恩数	D	${\displaystyle {\mathit {D}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}}$	彎曲管道中的流體渦
底波拉数	De	${\displaystyle \mathrm {De} ={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}}$	粘彈性流體的流動學
分貝	dB		兩個強度之比，通常用於聲音
阻力系數	${\displaystyle C_{d}}$		流動阻力
Dukhin數	Du		異質系統中表面電導率與體積電導率之比
歐拉常數	e		數學
埃克特数	Ec		熱對流傳導
埃克曼数	Ek		地球物理學（黏質阻力）
彈性	E	${\displaystyle E_{x,y}=\left|{\frac {\Delta y/y}{\Delta x/x}}\right|=\left|{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {x}{y}}\right|=\left|{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {x}{y}}\right|}$	經濟學，常用於量度供給和需求如何受價格變化的影響
厄特沃什数	Eo		判斷汽泡或液滴形狀
埃里克森数	Er		液晶流動特性
歐拉數 (物理學)	Eu		流體動力學（壓力與慣性力之比）
過量溫度係數	Θr	${\displaystyle \Theta _{r}={\frac {T-T_{e}}{U_{e}^{2}/(2c_{p})}}}$	熱力學與流體動力學[11]
范宁摩擦系数（英语：Fanning friction factor）	f		管道中的流體流動[12]
费根鲍姆常数	${\displaystyle \alpha ,\delta }$		混沌理論（週期倍增）[13]
精細結構常數	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}}}$	量子電動力學
焦比	${\displaystyle f}$		光學、攝影
Foppl-von Karman數			薄壳失稳
傅里叶数	Fo		熱傳導
菲涅耳数	F	${\displaystyle F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}}$	狹縫衍射[14]
福禄数	Fr	${\displaystyle Fr={\frac {V}{\sqrt {g\ell }}}}$	波和表面行為
增益			電子學（信號輸出與信號輸入之比）
速比			單車傳動[15]
伽利莱数	Ga	${\displaystyle \mathrm {Ga} =Re^{2}Ri={\frac {g\,L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	引力造成的黏質流動
黃金分割比	${\displaystyle \varphi }$		數學、美學
格雷茨数	Gz		熱流
格拉斯霍夫数	Gr		自由對流
重力耦合常數	${\displaystyle \alpha _{G}}$	${\displaystyle \alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}}$	重力
八田數	Ha	${\displaystyle Ha={{\sqrt {{\frac {2}{{m}+1}}k_{m,n}{C_{A,i}}^{m-1}C_{B,bulk}^{n}{D}_{A}}} \over {{k}_{L}}}}$	化學反應造成的吸附增強
哈根數	Hg	${\displaystyle \mathrm {Hg} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}{\frac {L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	強制對流
水力梯度	i		地下水流動
雅各布数	Ja	${\displaystyle Ja={\frac {c_{p}(T_{s}-T_{sat})}{h_{fg}}}}$	液汽相变時所吸收的顯能與潛能之比[16]
Karlovitz數			湍流燃烧
Kc數	${\displaystyle K_{C}}$	${\displaystyle K_{c}={\frac {VT}{L}}}$	震盪流場中物體的阻力與慣性之比
克努森数	Kn		分子平均自由程長度與某代表性長度之比
尿素清除指數	Kt/V		醫學
Kutateladze數	K		兩相逆流
拉普拉斯数	La		混溶流體中的自由對流
路易斯数	Le		質量擴散率與熱擴散率之比
升力係數	${\displaystyle C_{L}}$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli參數	${\displaystyle \chi }$		濕氣的流動 [17]
乐甫数			地球的硬性
伦德奎斯特数	${\displaystyle S}$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数	M	${\displaystyle \ M={\frac {V}{a}}}$	氣體動力學
磁雷诺数	${\displaystyle R_{m}}$		磁流体力学
曼宁糙率系数	n		開放管道流體流動（由引力推動）[18]
马兰戈尼数	Mg		由熱表面張力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数	Mo		判斷汽泡或液滴形狀
彭巴數	${\displaystyle K_{M}}$		溶液冷凍時的熱傳導與擴散[19]
努塞尔特数	Nu	${\displaystyle Nu={\frac {hd}{k}}}$	強制對流下的熱傳導
奥内佐格数	Oh		液體霧化，马兰戈尼流
佩克莱特数	Pe	${\displaystyle Pe={\frac {du\rho c_{p}}{k}}=(Re)(Pr)}$	平流-擴散問題，總動量傳遞和分子熱傳遞之間的關係
剥离数			微觀結構與底物的黏附作用[20]
導流係數	K		在帶電離子束中空間電荷的強度
圓周率	${\displaystyle \pi }$		數學（圓周長與直徑之比）
泊松比	${\displaystyle \nu }$		彈性（橫向與縱向負荷）
多孔性	${\displaystyle \phi }$		地質學
功率因數			電子學（有功功率与视在功率之比）
功率數	${\displaystyle N_{p}}$		攪拌器的功率消耗
普兰特数	${\displaystyle Pr}$	${\displaystyle Pr={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}}$	黏性擴散率與熱擴散率之比
壓力係數	${\displaystyle C_{P}}$		翼型上某個點的壓力
品質因子	${\displaystyle Q}$		描述振子的阻尼
弧度	${\displaystyle \theta _{rad}}$	${\displaystyle \theta _{rad}={\frac {s}{r}}}$	量度平面角，${\displaystyle 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$
瑞利数	${\displaystyle Ra}$	${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} ={\frac {g\beta \Delta TL^{3}}{\nu \alpha }}}$	自由對流中的浮力和黏滯力
折射率	n		電磁學、光學
雷诺数	${\displaystyle Re}$	${\displaystyle Re={\frac {vL\rho }{\mu }}}$	流體的慣性力與黏滯力之比[5]
比重	RD		比重計，物質間的比較
理查逊数	Ri		浮力對流動穩定性的影響[21]
洛氏硬度			硬度
滚动阻力系数	Crr	${\displaystyle C_{rr}={\frac {N_{f}}{F}}}$	車輛動力學
罗斯贝数	${\displaystyle Ro}$	${\displaystyle Ro={\frac {U}{LF}}}$	地球物理學中的慣性力，描述科里奧利力的影響程度
劳斯数	Z或P	${\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {w_{s}}{\beta \kappa u_{*}}}}$	沈積物流移
施密特数	Sc	${\displaystyle {\mathit {Sc}}={\frac {\nu }{D}}={\frac {\mu }{\rho D}}}$	流體動力學（質量轉移與擴散）[22]
形狀因數	H		边界层流動中排移厚度與動量厚度之比
舍伍德数	Sh	${\displaystyle \mathrm {Sh} ={\frac {h_{D}L}{D_{fluid}}}}$	強制對流中的質量轉移
希尔兹參數	τ∗或θ		流體運動造成的沈積物流移的臨界
索默菲德数			邊層潤滑[23]
斯坦顿数	St	${\displaystyle St={\frac {h}{Gc_{p}}}={\frac {h}{\rho uc_{p}}}={\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }}}$	強制對流中的熱傳遞
斯蒂芬数	Ste	${\displaystyle Ste={\frac {C_{p}\Delta T}{L}}}$	相變時的熱傳遞
斯托克斯数	${\displaystyle S_{tk}}$或${\displaystyle S_{k}}$	${\displaystyle Stk={\frac {\tau \,U_{o}}{d_{c}}}}$	流體流中的粒子動力學
應變	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle \epsilon ={\cfrac {\partial {F}}{\partial {X}}}-1}$	材料科学、彈性
斯特劳哈尔数	St或Sr	${\displaystyle St={fL \over V}}$	持續並脈動的流體流動[24]
泰勒数	Ta	${\displaystyle Ta={\frac {4\Omega ^{2}R^{4}}{\nu ^{2}}}}$	旋轉的流體流動
Ursell數	U	${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}}$	在淺流體層上表面引力波的非線性度
Vadasz數	Va	${\displaystyle Va={\frac {\phi Pr}{Da}}}$	在多孔介質中流體流動時，該數影響多孔性${\displaystyle \phi }$、普兰特数以及達西阻力係數
范特霍夫因子	i	${\displaystyle i=1+\alpha (n-1)}$	化學定量分析（Kf及Kb）
Wallis參數	J*	${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	多相流體流動時的表現速
韦伯数	We	${\displaystyle We={\frac {\rho v^{2}l}{\sigma }}}$	表面極為彎曲的多相流體流動
魏森贝格数	Wi	${\displaystyle Wi={\dot {\gamma }}\lambda }$	粘彈性流體流動[25]
沃默斯利数	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	持續並脈動的流體流動[26]

無量綱的物理常數

一些基本物理常數，如真空中的光速、萬有引力常數、普朗克常數和波兹曼常数等等，在適當挑選時間、長度、質量、電荷及溫度等單位後，可以歸一（數值為1）。這種單位制被稱為自然單位制。不過不可能在每一個單位制中都把所有的物理常數歸一，剩餘的量必須以實驗判定。這些剩餘的量包括：

• α：精細結構常數，電磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
• μ或β：質子與電子的不變質量之比，可更廣義地指所有基本粒子相對電子的不變質量之比，μ ≈ 1836；
• α_s：強相互作用的耦合常數；
• α_G：重力的耦合常數，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。