無窮元組合學

數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學^[1]、奇異基數（英语：Regular cardinal）後繼上的組合學^[2]。

無窮集的拉姆齊理論

設${\displaystyle \kappa ,\ \lambda }$為序數，${\displaystyle m}$為基數，${\displaystyle n}$為正整數。Erdős & Rado (1956)引入記號

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$

作為下列命題的速記：

若將${\displaystyle \kappa }$所有${\displaystyle n}$元子集的集合${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$，分劃為${\displaystyle m}$份，則有一份包含序型為${\displaystyle \lambda }$的同質集。

所謂同質集，意思是${\displaystyle \kappa }$的子集，且其所有${\displaystyle n}$元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法：

若有${\displaystyle m}$種色，並將${\displaystyle \kappa }$的每個${\displaystyle n}$元子集，各染一種色，則必有序型為${\displaystyle \lambda }$的同色集，即其所有${\displaystyle n}$元子集皆同色。

當${\displaystyle m}$為${\displaystyle 2}$時，可省略不寫。

假設選擇公理（AC），則不存在序數${\displaystyle \kappa }$使得${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$。此即上段取${\displaystyle n}$有限的原因。雖然不允許${\displaystyle n}$為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的${\displaystyle n}$。符號

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$

表示命題「若將${\displaystyle \kappa }$的所有有限子集染成${\displaystyle m}$種色，則有序型為${\displaystyle \lambda }$的子集${\displaystyle X}$，使得其對每個${\displaystyle n}$，${\displaystyle X}$的所有${\displaystyle n}$元子集皆同色。」（但不同的${\displaystyle n}$之間，無需同色。）同樣，當${\displaystyle m}$為${\displaystyle 2}$時，可省略不寫。

還有變式： ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$ 表示「若將${\displaystyle \kappa }$的所有${\displaystyle n}$元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為${\displaystyle \lambda }$的子集，其所有${\displaystyle n}$元子集皆為紅，或有序型為${\displaystyle \mu }$的子集，其所有${\displaystyle n}$元子集皆為藍。」

可以此記號表示的命題有：（下設${\displaystyle \kappa }$為基數）

${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$對所有有限的${\displaystyle n,k}$成立（拉姆齊定理）。

${\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$（艾狄胥－雷多定理（英语：Erdős–Rado theorem））。

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$（謝爾賓斯基定理）

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$ (艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem））。

在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理（AD）的推論，例如，當勞·馬丁（英语：Donald A. Martin）證明，AD推出

${\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.}$

大基數

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一些大基數性質是用拉姆齊性質定義，如：

• 弱緊基數（英语：Weakly compact cardinal）${\displaystyle \kappa }$滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$；
• α艾狄胥基數（英语：Erdős cardinal）${\displaystyle \kappa }$是滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }}$的最小基數；
• 拉姆齊基數（英语：Ramsey cardinal）${\displaystyle \kappa }$滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }}$。