拉回 (范畴论)

在数学分支范畴论中，拉回（也称为纤维积或笛卡尔方块）是由具有公共上域的两个态射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$ 与 ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ 组成的图表的极限。拉回经常写作

${\displaystyle P=X\times _{Z}Y.\,}$

泛性质

明确地说，态射 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 的拉回由一个对象 ${\displaystyle P}$ 和两个态射 ${\displaystyle p_{1}:P\rightarrow X}$与 ${\displaystyle p_{2}:P\rightarrow Y}$ 组成，使得图表

交换。并且拉回 ${\displaystyle (P,p_{1},p_{2})}$ 对这个图表必须是通用的。这便是说，任何其它这样的三元组 ${\displaystyle (Q,q_{1},q_{2})}$ 一定存在惟一的 ${\displaystyle u:Q\rightarrow P}$ 使得图表

交换。和所有泛构造一样，拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

弱拉回

一个cospan ${\displaystyle X\rightarrow Z\leftarrow Y}$ 的弱拉回是在cospan上面的锥只须满足弱泛性质，这就是说中间映射 ${\displaystyle u:Q\rightarrow P}$ 不必是惟一的。

例子

在集合范畴中，${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g}$ 的拉回是集合

${\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\},\,}$

以及投影映射的限制 ${\displaystyle \pi _{1}}$ 与 ${\displaystyle \pi _{2}}$ 映到 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$。

• 这个例子启发另一种方式考虑拉回：作为态射 ${\displaystyle f\circ p_{1}}$, ${\displaystyle g\circ p_{2}:X\times Y\rightarrow Z}$ 的等化子，这里${\displaystyle X\times Y}$是 ${\displaystyle X}$ 和 ${\displaystyle Y}$的二元积

而 ${\displaystyle p_{1}}$与 ${\displaystyle p_{2}}$是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上，由极限存在定理，在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论：给定一个纤维映射 ${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$ 以及一个连续映射 ${\displaystyle f:X\rightarrow B}$，拉回 ${\displaystyle X\times _{B}E}$ 是 ${\displaystyle X}$ 上的纤维丛，称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象Z的范畴中，拉回 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ 恰好是普通积 ${\displaystyle X\times Y}$。

性质

• 如果 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ 存在，那么 ${\displaystyle Y\times _{Z}X}$ 也存在，且存在态射 ${\displaystyle X\times _{Z}Y\cong Y\times _{Z}X}$。
• 单态射在拉回下不变：如果箭头 ${\displaystyle f}$ 单，那么它就是箭头 ${\displaystyle p_{2}}$。例如，在集合范畴中，如果 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle Z}$ 的子集，那么对任何 ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$，拉回 ${\displaystyle X\times _{Z}Y}$ 是 ${\displaystyle X}$ 在 ${\displaystyle g}$ 下的逆像。
• 同构态射也不变，因此 ${\displaystyle X\times _{X}Y\cong Y}$ 对任何映射 ${\displaystyle Y\rightarrow X}$ 成立。

又见

• 拉回的范畴对偶称为推出。
• 微分几何中的拉回。
• 关系代数中的相等连接。

参考文献

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆） (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
• Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, ISBN 90-277-1213-1 (Originally published in 1965, by Harper & Row).

外部链接

• 有趣的网页给出了有限集合中拉回的例子，作者为Jocelyn Paine。