热门问题
时间线
聊天
视角
赫尔德不等式
来自维基百科,自由的百科全书
Remove ads
赫爾德不等式是數學分析的一條不等式,取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示Lp空間的相互關係的基本不等式:
設為測度空間,,及,設在內,在內。則在內,且有
等号当且仅当与(幾乎處處)线性相关时取得,即有常數使得對幾乎所有成立。
若取作附計數測度,便得赫爾德不等式的特殊情形:對所有實數(或複數),有
- 。
我们称 和 互为赫尔德共轭。
當,便得到柯西-施瓦茨不等式。
Remove ads
备注
- 在赫尔德共轭的定义中,意味着零。
- 如果,,那么和表示(可能无穷的)表达式:
- 以及
- 如果 ,那么表示 的本性上确界,也类似。
- 在赫尔德不等式的右端,0乘以以及乘以0意味着 0。把 乘以,则得出。
Remove ads
证明
赫尔德不等式有许多证明,主要的想法是杨氏不等式。
如果,那么 -几乎处处为零,且乘积 -几乎处处为零,因此赫尔德不等式的左端为零。如果也是这样。因此,我们可以假设且。
如果或,那么不等式的右端为无穷大。因此,我们可以假设和位于 内。
如果 且 ,那么几乎处处有 ,不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 和,情况也类似。因此,我们还可以假设。
分别用 和 除,我们可以假设:
我们现在使用杨氏不等式:
对于所有非负的 和 ,当且仅当 时等式成立。因此:
两边积分,得:
这便证明了赫尔德不等式。
在 和 的假设下,等式成立当且仅当几乎处处有。更一般地,如果 和 位于 内,那么赫尔德不等式变为等式,当且仅当存在(即 且 ),使得:
- -几乎处处 (*)
的情况对应于(*)中的 。 的情况对应于(*)中的 。
Remove ads
反向赫尔德不等式
当时,不再满足三角不等式,此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):
参考文献
- Hardy, G.H.; Littlewood, J.E.; Pólya, G., Inequalities, Cambridge Univ. Press, 1934, ISBN 0521358809
- Hölder, O., Ueber einen Mittelwerthsatz, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, 1889: 38–47
- Kuptsov, L.P., Hölder inequality, 数学百科全书, EMS Press, 2001 (英语)
- Rogers, L J., An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of math, 1888, 17: 145–150
- Kuttler, Kenneth, An introduction to linear algebra (PDF), Online e-book in PDF format, Brigham Young University, 2007 [2009-02-02], (原始内容存档 (PDF)于2008-08-07)
- 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报(自然科学版). 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634.
- 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918.
Remove ads
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads