超几何分布

超幾何分布（Hypergeometric distribution）是統計學上一种離散機率分布。它描述了由有限個物件中抽出${\displaystyle n}$個物件，成功抽出${\displaystyle k}$次指定種類的物件的概率（抽出不放回 （without replacement））。

超几何分布

概率质量函數
累積分布函數
参数	${\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}}$
值域	${\displaystyle k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}$
概率质量函数	${\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
累積分布函數	${\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right]}$ 其中${\displaystyle \,_{p}F_{q}}$為廣義超幾何函數
期望值	${\displaystyle n{K \over N}}$
眾數	${\displaystyle \left\lceil {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rceil -1}$, ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }$
方差	${\displaystyle n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}}$
偏度	${\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
峰度	${\displaystyle \left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.}$ ${\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+{}}$ ${\displaystyle {}+6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}}$
矩生成函数	${\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}{_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}}$
特徵函数	${\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}{\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}$

例如在有${\displaystyle N}$個樣本，其中${\displaystyle K}$個是不及格的。超幾何分布描述了在該${\displaystyle N}$个样本中抽出${\displaystyle n}$個，其中${\displaystyle k}$個是不及格的個數：

${\displaystyle f(k;n,K,N)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$

上式可如此理解：${\displaystyle {\tbinom {N}{n}}}$表示所有在${\displaystyle N}$个样本中抽出${\displaystyle n}$个的方法数目。${\displaystyle {\tbinom {K}{k}}}$表示在${\displaystyle K}$个样本中，抽出${\displaystyle k}$個的方法數目，即组合数，又稱二項式係數。剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有${\displaystyle N-K}$个，剩下的抽法便有${\displaystyle {\tbinom {N-K}{n-k}}}$ 若${\displaystyle n=1}$，超幾何分布退化為伯努利分布。

记号

若随机变量${\displaystyle X}$服从参数为${\displaystyle n,K,N}$的超几何分布，则记为${\displaystyle X\sim H(n,K,N)}$。

參見

• 幾何分布
• 二項式分布