里斯表示定理

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泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理(英語:Riesz representation theorem),它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯

希尔伯特空间的表示定理

此定理說明希尔伯特空间連續線性泛函都可以表示成內積。

定理是個複希尔伯特空间(也就是标量是複數),那對於任意連續線性泛函 ,存在唯一的 使得

證明的重點在於先證明正交补 的一维子空间,然後取那个子空间中一个非零元素 ,設

與狄拉克符號的關係

这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據;也就是說,当機率幅 對每個任意態向量 都是連續的時候,可以視為每个左向量 (也就是表示躍遷到 狀態的機率幅的線性泛函)都有一个相应的右向量 來同時代表同一個純態 ,因為根據以上的表現定理, 就是 的內積。

里斯-马尔可夫表示定理

歷史

历史上,通常认为这个定理同时由里斯弗雷歇发现[1]

给定算子 ,(任何人)可以構造一個有界变差函数 ,使得,對任何连续函数 ,(任何人)有


Étant donnée l'opération , on peut déterminer la fonction à variation bornée , telle que, quelle que soit la fonction continue , on ait

.


— Riesz, 1909

支集為緊的連續函數空間

意為由所有支集连续函数 所構成的函数空间。

定理局部紧豪斯多夫空间 ,則對正线性泛函 ,存在一個含有所有 博雷爾集Σ-代数 ,且存在唯一的测度 使得[2]

且(以下的條件稱為正則的

  • 对所有 紧子集
  • ,則
  • ,則
  • 的開集,則

於無窮遠處消失的連續函數空間

里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本:

上所有在無窮遠處消失连续函数 所構成的函数空间。

定理局部紧豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 ,存在一個含有所有 博雷爾集Σ-代数 ,且存在唯一的正則测度 使得[2]

范数全变差(英語:total variation),即

最后,的当且仅当测度 是非负的。

上的有界线性泛函可唯一地延拓为 上有界线性泛函,因为后一个空间是前者的闭包。但是 上一个无界正线性泛函不能延拓为 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。

参考文献

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