里斯表示定理
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在泛函分析中有多个有名的定理冠以里斯表示定理(英語:Riesz representation theorem),它们是为了纪念匈牙利数学家弗里杰什·里斯。
希尔伯特空间的表示定理
定理:是個複希尔伯特空间(也就是标量是複數),那對於任意連續線性泛函 ,存在唯一的 使得
这个定理也是量子力学中的狄拉克符号於數學上合理的依據;也就是說,当機率幅 對每個任意態向量 都是連續的時候,可以視為每个左向量 (也就是表示躍遷到 狀態的機率幅的線性泛函)都有一个相应的右向量 來同時代表同一個純態 ,因為根據以上的表現定理, 就是 和 的內積。
里斯-马尔可夫表示定理
给定算子 ,(任何人)可以構造一個有界变差函数 ,使得,對任何连续函数 ,(任何人)有
- 。
Étant donnée l'opération , on peut déterminer la fonction à variation bornée , telle que, quelle que soit la fonction continue , on ait
- .
— Riesz, 1909
定理: 是局部紧的豪斯多夫空间 ,則對正线性泛函 ,存在一個含有所有 的博雷爾集的Σ-代数 ,且存在唯一的测度 使得[2]
且(以下的條件稱為正則的)
- 对所有 的紧子集 ,。
- 若 ,則
- 若 且 ,則
- 若 為 的開集,則
里斯-马尔可夫表示定理也有以下不同的版本:
定理: 是局部紧的豪斯多夫空间。則對有界线性泛函 ,存在一個含有所有 的博雷爾集的Σ-代数 ,且存在唯一的正則测度 使得[2]
且 的范数是 的全变差(英語:total variation),即
最后, 是正的当且仅当测度 是非负的。
注: 上的有界线性泛函可唯一地延拓为 上有界线性泛函,因为后一个空间是前者的闭包。但是 上一个无界正线性泛函不能延拓为 上一个有界线性泛函。因此前两个结论应用的情形稍微不同。
参考文献
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