Dreieck

A Dräiäck ìsch a Vììläck un a geomeetrisch Gebìld. Ìn dr eukliidischa Geometrii ìsch’s d’ aifàchschta Figüür ìn dr Eewana, wo vu grààda Liinia begranzt wìrd. Siina Begranzungsliinia nänna m’r „Sitta“. Ìm Ìnnera vum Dräiäck schpànna sìch dräi Wìnkel uff, wo „Ìnnawìnkel“ haissa. D’ Schaitel vu dana Wìnkel nännt maa „Äckpìnkt“ vum Dräiäck. Ìn dr nìt-eukliidischa Geometrii fìnda m’r àui Dräiäcka; ìn dam Fàll mian àwwer d’ Begrazungsliinia Geodääta sìì.

a àllgmain Dräiäck

Dialäkt: Mìlhüüserdiitsch

Ìn dr Trigonometrii, a Tailgebiat vu dr Màthemàtik, schpììla Dräiäcka-n-a waasentliga Rolla.

d’ verschììdana Dräiäcka, wo ’s gìtt

d’ verschììdana Dräiäcka:
Vu lìnks noh rachts: schpìtzwìnklig, rachtwìnklig, schtumpfwìnklig
Vun oowa bis unta: unreegelmaasig, gliichschanklig, gliichsittig

nooh Sittalänga

• Unreegelmaasig Dräiäck
• Gliichschanklig Dräiäck
• Gliichsittig Dräiäck

nooh Wìnkel

• Schpìtzwìnklig Dräiäck
• Rachtwìnklig Dräiäck
• Schtumpfwìnklig Dräiäck

D’ Schpìtz- un schumpfwìnkliga Dräiäcka känna m’r àui unter’m Nàmma schiafwìnklig Dräiäck zammafàssa.

s’ àllgmaina Dräiäck

Formla

Màthemààtischa Formla zem àllgmaina Dräiäck
Flächa-n-ìnhàlt (lüag Sàtz vum Heron)	${\displaystyle A={\frac {a\cdot h_{a}}{2}}={\frac {b\cdot h_{b}}{2}}={\frac {c\cdot h_{c}}{2}}}$ ${\displaystyle A={\frac {b\cdot c\cdot \sin(\alpha )}{2}}={\frac {a\cdot c\cdot \sin(\beta )}{2}}={\frac {a\cdot b\cdot \sin(\gamma )}{2}}}$
	${\displaystyle A={\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}};\;\;s={\frac {U}{2}}}$
Umfàng	${\displaystyle U=a+b+c=8\cdot r\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}$
Heecha üss da Sittalänga (mìttels Sàtz vum Heron)	${\displaystyle h_{a}={\frac {2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}{a}}}$
	${\displaystyle h_{b}={\frac {2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}{b}}}$
	${\displaystyle h_{c}={\frac {2\cdot {\sqrt {s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}}{c}}}$
Heecha	${\displaystyle h_{a}=c\cdot \sin(\beta )=b\cdot \sin(\gamma )}$
	${\displaystyle h_{b}=a\cdot \sin(\gamma )=c\cdot \sin(\alpha )}$
	${\displaystyle h_{c}=b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )}$
Ìnkraisradiüs	${\displaystyle \rho =4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)={\frac {2\cdot A}{U}}}$
Umkraisradiüs (mìttels Sinüssàtz)	${\displaystyle r={\frac {a}{2\cdot \sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\cdot \sin(\beta )}}={\frac {c}{2\cdot \sin(\gamma )}}={\frac {a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}}}$
Länga vu da Wìnkelhàlwiaranda[1]	${\displaystyle w_{\alpha }={\sqrt {bc\left(1-{\frac {a^{2}}{\left(b+c\right)^{2}}}\right)}}}$
	${\displaystyle w_{\beta }={\sqrt {ac\left(1-{\frac {b^{2}}{\left(a+c\right)^{2}}}\right)}}}$
	${\displaystyle w_{\gamma }={\sqrt {ab\left(1-{\frac {c^{2}}{\left(a+b\right)^{2}}}\right)}}}$
Länga vu da Sittahàlwiaranda	${\displaystyle s_{a}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot b^{2}+2\cdot c^{2}-a^{2}}}}$
	${\displaystyle s_{b}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot c^{2}+2\cdot a^{2}-b^{2}}}}$
	${\displaystyle s_{c}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2\cdot a^{2}+2\cdot b^{2}-c^{2}}}}$
Ìnkraismìttelpunkt${\displaystyle \;I}$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	${\displaystyle (a:b:c)}$
Umkraismìttelpunkt${\displaystyle \;U}$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\big (}a^{2}\cdot (-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\\&b^{2}\cdot (a^{2}-b^{2}+c^{2}):\\&c^{2}\cdot (a^{2}+b^{2}-c^{2}){\big )}\end{aligned}}}$
Heechaschnìttpunkt${\displaystyle \;H}$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	${\displaystyle {\begin{aligned}&{\big (}(a^{2}-b^{2}+c^{2})\cdot (a^{2}+b^{2}-c^{2}):\\&(a^{2}+b^{2}-c^{2})\cdot (-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\\&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\cdot (a^{2}-b^{2}+c^{2}){\big )}\end{aligned}}}$
Geomeetrischer Schwaarpunkt${\displaystyle \;S}$	${\displaystyle x_{s}={\frac {1}{3}}\cdot (x_{A}+x_{B}+x_{C})}$
	${\displaystyle y_{s}={\frac {1}{3}}\cdot (y_{A}+y_{B}+y_{C})}$

Lìteràtüür

• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 71–91, 108–135, 143–197.
• Joseph von Radowitz: Die Formeln der Geometrie und Trigonometrie. Ferdinand Dümmler, Berlin 1827 (Iigschränkti Vorschau uf books.google.de).

Weblìnks

 Commons: Dräiäcka – Sammlig vo Multimediadateie

• Eric W. Weisstein: Triangle. In: MathWorld (änglisch).
• Steve Phelps: A Tour of Triangle Geometry bii GeoGebra (änglisch)