Loading AI tools
من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
في الرياضيات، الدالة المعدة للأعداد الأولية (بالإنجليزية: Prime-counting function) هي دالة تعد عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو المساوية لعدد حقيقي ما.[1][2][3] عادة ما يرمز إليها ب (في هذه الإشارة، لا يشير إلى العدد π).
في نهاية القرن الثامن عشر، حدس كل من كارل فريدريش غاوس وأدريان ماري ليجاندر أن الدالة المعدة للأعداد الأولية تساوي بالتقريب:
هذا يعني ما يلي:
يطلق على هاته المتساوية اسم مبرهنة الأعداد الأولية. هناك متساوية أخرى متكافئة وهي:
حيث li هي دالة التكامل اللوغاريتمي. بُرهن لأول مرة على هذه المبرهنة في عام 1896. كان ذلك من طرف كل من العالمين جاك هادامار وشارل جون دو لا فالي بوسان، الواحد منهما بمعزل عن اللاخر.
تظهر هذه اللائحة قيم الدوال الثلاث (π(x و(x / ln(x و(li(x عند قوى العدد عشرة.
x | π(x) | π(x) − x / log x | li(x) − π(x) | x / π(x) | x / log x % Error |
---|---|---|---|---|---|
10 | 4 | 0 | 2 | 2.500 | -8.57% |
102 | 25 | 3 | 5 | 4.000 | 13.14% |
103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 | 13.83% |
104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 | 11.66% |
105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.425 | 9.45% |
106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.739 | 7.79% |
107 | 664,579 | 44,158 | 339 | 15.047 | 6.64% |
108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.357 | 5.78% |
109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.667 | 5.10% |
1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.975 | 4.56% |
1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.283 | 4.13% |
1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 | 3.77% |
1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.896 | 3.47% |
1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.202 | 3.21% |
1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.507 | 2.99% |
1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 3,214,632 | 35.812 | 2.79% |
1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,928 | 7,956,589 | 38.116 | 2.63% |
1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 21,949,555 | 40.420 | 2.48% |
1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,961 | 99,877,775 | 42.725 | 2.34% |
1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,702 | 222,744,644 | 45.028 | 2.22% |
1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 597,394,254 | 47.332 | 2.11% |
1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1,932,355,208 | 49.636 | 2.02% |
1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 7,250,186,216 | 51.939 | 1.93% |
1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 17,146,907,278 | 54.243 | 1.84% |
1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 55,160,980,939 | 56.546 | 1.77% |
1026 | 1,699,246,750,872,437,141,327,603 | 28,883,358,936,853,188,823,261 | 155,891,678,121 | 58.850 | 1.70% |
1027 | 16,352,460,426,841,680,446,427,399 | 267,479,615,610,131,274,163,365 | 508,666,658,006 | 61.153 | 1.64% |
1028 | 157,589,269,275,973,410,412,739,598 | 2,484,097,167,669,186,251,622,127 | 1,427,745,660,374 | 63.456 | 1.58% |
1029 | 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063 | 23,130,930,737,541,725,917,951,446 | 4,551,193,622,464 | 65.759 | 1.52% |
تكمن الطريقة الأكثر بساطة من أجل تحديد (π(x إذا لم يكن x كبيرا جدا، في استعمال غربال إراتوستينس من أجل تحديد لائحة الأعداد الأولية الأصغر من x، وبذلك عدها.
هناك طريقة أكثر تطورا وتعود إلى ليجاندر.
انظر إلى تحويل ميلين وإلى دالة فون مانغولدت وإلى صيغة القلب لموبيوس وإلى دالة زيتا لريمان وإلى صيغة بيرون.
حيث
فرضية ريمان تكافئ حدا أكثر دقة للخطأ في تقدير قيمة .
وبالتحديد
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.