Periodu d'oscilación

En física, el periodu d'una oscilación o onda (T) ye'l tiempu trescurríu ente dos puntos equivalentes de la onda. El conceutu apaez tanto en matemátiques como en física y otres árees de conocencia.

Periodu d'oscilación
periodo (es) , cantidá física y duración (es)

Representación d'un movimientu senoidal nel que'l periodu d'oscilación va aumentando.

Definición

Un pendilexu simple executa un movimientu periódicu que'l so periodu d'oscilación vien dau aproximao por ${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\ell \over g}}}$ cuando les oscilaciones nun s'allonxen enforma de la vertical.

Ye'l mínimu lapsu que separta dos intres nos que'l sistema alcuéntrase exautamente nel mesmu estáu: mesmes posiciones, mesmes velocidaes, mesmes amplitúes. Asina, el periodu d'oscilación d'una onda ye'l tiempu emplegáu pola mesma en completar una llonxitú d'onda. En términos curtios ye'l tiempu que dura un ciclu de la onda en volver empezar. Por casu, nuna onda, el periodu ye'l tiempu trescurríu ente dos crestes o valles socesivos. El periodu (T) ye inversu a la frecuencia (f):

${\displaystyle T={\frac {1}{\mbox{frecuencia}}}={\frac {2\pi }{\omega }}}$

Como'l periodu siempres ye inversu a la frecuencia, la llonxitú d'onda tamién ta rellacionada col periodu, per aciu la fórmula de la velocidá d'propagación. Nesti casu la velocidá de propagación va ser el cociente ente la llonxitú d'onda y el periodu.

En física un movimientu periódicu siempres ye un movimientu acotáu, esto ye, ta confináu a una rexón finita del espaciu de la que les partícules nunca salen. Un exemplu d'ello ye'l movimientu unidimensional d'una partícula pola aición d'una fuerza conservativa si ${\displaystyle \scriptstyle U(x)}$ ye'l potencial asociáu a la fuerza conservativa, pa enerxíes llixeramente cimeres a un mínimu d'enerxía ${\displaystyle \scriptstyle E>E_{0}}$ la partícula va realizar un movimientu oscilatoriu alredor de la posición d'equilibriu dada pol mínimu llocal d'enerxía. El periodu d'oscilación depende de la enerxía y vien dau pola espresión:^[1]

${\displaystyle T_{E}={\sqrt {2m}}=\int _{x_{1}(E)}^{x_{2}(E)}{\frac {dx}{\sqrt {E-U(x)}}}}$

Pa ${\displaystyle \scriptstyle (E-E_{0})}$ abondo pequeñu'l movimientu puede representase por un movimientu cuasi-harmónicu de la forma:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{E}(t)=x_{0}+A_{E}\sin(\omega _{E}(t)t+\varphi _{0})=\\x_{E}(t)=x_{0}+A(t)\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})+B(t)\cos(\omega _{0}t+\varphi _{0})\end{cases}}}$ ${\displaystyle {\begin{cases}A(t)=A_{E}(1+t^{4}\alpha (t))\\B(t)=A_{E}(1+t^{2}\beta (t))\end{cases}}}$

El términu ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{E}(t)t+\varphi _{0}}$ ye la fase, siendo ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{0}}$ ye la fase inicial, ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{E}(t)}$ ye la frecuencia angular dándose la rellación averada:

${\displaystyle \omega _{E}(0)=\omega _{0}\approx {\frac {2\pi }{T_{E}}},\qquad A_{E}=|x_{2}(E)-x_{1}(E)|}$

Dependiendo'l grau d'aproximamientu de lo cercana que tea la enerxía al mínimu, pa enerxíes pocu percima del mínimu'l movimientu ta bien cercanu al movimientu harmónicu dau por:

${\displaystyle x_{E}(t)\approx x_{0}+A_{E}\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})=x_{0}+A_{E}\sin \left({\frac {2\pi t}{T_{E}}}+\varphi _{0}\right)}$

Definición matemática

Un periodu d'una función real f ye un númberu tal que pa tou t cúmplese que:

${\displaystyle f(t+T)=f(t),\qquad \forall t:[t,t+T]\subset {\mathcal {D}}_{f}}$

Nótese que polo xeneral esiste una infinidá de valores T que satisfaen la condición anterior, de fechu el conxuntu de los periodos d'una función forma un subgrupu aditivu de ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Por casu f(t) = sen t tien como conxuntu de periodos a 2πZ, los múltiplos de 2π.

• Si'l subgrupu ye discretu, llámase'l periodu de f al so menor elementu positivu non nulu. Nel exemplu anterior, el periodu de la función senu ye 2π. Otres funciones periódiques, ye dicir qu'almiten un periodu, son el cosenu, la tanxente y la función x - E(x), onde E(x) ye la parte entera de x.
• Si'l subgrupu ye continuu, nun puede definise el periodu. Por casu, la función constante g(t) = k almite tou real como periodu, pero nengunu recibe'l nome de el periodu de g. Un exemplu más esotéricu: La función carauterística ${\displaystyle \chi _{\mathbf {Q} }}$ de ${\displaystyle \mathbf {Q} }$, el conxuntu de los racionales ye como sigue: Si x ye racional, entós ${\displaystyle \chi _{\mathbf {Q} }(x)=1}$, y si x nun ye racional ${\displaystyle \chi _{\mathbf {Q} }(x)=0}$. El grupu de periodos de ${\displaystyle \chi _{\mathbf {Q} }}$ ye ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ que nun tien menor elementu positivu non nulu; polo tanto tampoco esiste el periodu d'esta función.

Una suma de funciones periódiques nun ye por fuerza periódica, como se ve na figura siguiente cola función cos t + cos(√2·t):

Pa selo fai falta que'l cociente de los periodos seya racional, cuando esa última condición nun se cumple la función resultante dizse cuasiperiódica.

Bibliografía

• Landau & Lifshitz: Mecánica, Ed. Reverté, Barcelona, páxs. 29-30, 1991. ISBN 84-291-4081-6.
• Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de les partícules y sistemes. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8.
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). leición de Física (4 volumes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, Méxicu. ISBN 970-24-0257-3.

Ver tamién

• Amplitú (física)
• Frecuencia
• Ondes
• Velocidá angular
• Senu (trigonometría)

Referencies

1. Landau & Lifshitz, p. 29

Enllaces esternos