Аб’яднаньне мностваў

Аб’яднаньне мностваў — бінарная апэрацыя над мноствамі, вынікам якой ёсьць мноства, якое складаецца з элемэнтаў, што ўваходзяць хаця б у адно з гэтых мностваў. Аб’яднаньнем мностваў называюць як саму апэрацыю, так і мноства, што зьяўляецца яе вынікам.

Апэрацыя аб’яднаньня мностваў абазначаецца знакам ${\displaystyle \cup }$.

${\displaystyle ~\vdash \quad \forall x\ (x\in A\cup B\ \leftrightarrow \ x\in A\ \lor \ x\in B)}$

Уласьцівасьці аб’яднаньня мностваў

• камутатыўнасьць: ${\displaystyle \forall A,B:A\cup B=B\cup A}$
• асацыятыўнасьць: ${\displaystyle \forall A,B:(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• аб’яднаньнем мноства са сваім падмноствам ёсьць гэтае мноства: ${\displaystyle B\subseteq A\Leftrightarrow A\cup B=A}$.

У прыватнасці,

• аб’яднаньнем мноства з самім сабой ёсьць самое гэтае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup A=A}$
• аб’яднаньнем мноства з пустым мноствам ёсьць самое гэтае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing =A}$
• аб’яднаньнем мноства з унівэрсальным мноствам ёсьць самое ўнівэрсальнае мноства: ${\displaystyle \forall A:A\cup U=U}$

Асацыятыўнасьць апэрацыі аб’яднаньня мностваў дае магчымасьць разглядаць аб’яднаньне больш чым двух мностваў як адзіную апэрацыю:

${\displaystyle \bigcup \limits _{i=1}^{n}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n}}$