Роўніца

Ро́ўніца^[1][2][3] (пло́скасьць, плашчыня^[4]) — адно з асноўных паняцьцяў геамэтрыі.

Гэтая назва мае некалькі сэнсаў. Калі вас цікавяць іншыя сэнсы, глядзіце таксама Роўніца (неадназначнасьць).

Роўніца — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе простыя лініі, што праходзяць празь якія-небудзь два пункты роўніцы.

У альгебры роўніца вызначаецца як двухмерная афінная прастора. У плянімэтрыі роўніца разглядаецца як унівэрсуюм, да якога належаць усе геамэтрычныя фігуры. Стэрэамэтрыя разглядае бясконцае мноства роўніцаў, што належаць да прасторы.

Раўнаньні роўніцы

Роўніца — альгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сыстэме каардынат роўніцу можна задаць раўнаньнем першай ступені.

• Агульнае раўнаньне (поўнае) роўніцы

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)}$

дзе ${\displaystyle A,B,C}$ і ${\displaystyle D}$ — канстанты, прычым ${\displaystyle A,B}$ і ${\displaystyle C}$ адначасова ня роўныя нулю; у вэктарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радыюс-вэктар пункту ${\displaystyle M(x,y,z)}$, вэктар ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ пэрпэндыкулярны да роўніцы (нармальны вэктар). Накіравальныя косінусы вэктары ${\displaystyle \mathbf {N} }$:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Калі адзін з каэфіцыентаў у раўнаньні роўніцы — нуль, раўнаньне завецца няпоўным. Пры ${\displaystyle D=0}$ роўніца праходзіць праз пачатак каардынат, пры ${\displaystyle A=0}$ (або ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$) роўніца паралельная восі ${\displaystyle Ox}$ (адпаведна ${\displaystyle Oy}$ або ${\displaystyle Oz}$). Пры ${\displaystyle A=B=0}$ (${\displaystyle A=C=0}$, або ${\displaystyle B=C=0}$) роўніца паралельная роўніцы ${\displaystyle Oxy}$ (адпаведна ${\displaystyle Oxz}$ або ${\displaystyle Oyz}$).

• Раўнаньне роўніцы ў адцінках:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$

дзе ${\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}$ — адцінкі, якія роўніца адсякае на восях ${\displaystyle Ox,Oy}$ і ${\displaystyle Oz}$.

• Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз пункт ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ пэрпэндыкулярна вэктару нармалі ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

у вэктарнай форме:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$

• Раўнаньне роўніцы, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$, што не ляжаць на адной простай:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0}$

(зьмяшаны здабытак вектараў), інакш

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$

• Нармальнае (нармаванае) раўнаньне роўніцы

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)}$

у вэктарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$ — адзінкавы вэктар, ${\displaystyle p}$ — адлегласьць роўніцы ад пачатку каардынат. Раўнаньне (2) можна атрымаць з раўнаньня (1) множаньнем на нармоўны множнік

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знакі ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle D}$ супрацьлеглыя).