Дысперсія выпадковай велічыні

У тэорыі імавернасцей і статыстыцы дысперсія выпадковай велічыні вызначаецца як мера роскіду выпадковай велічыні, або як яе адхіленне ад матэматычнага спадзявання. Пазначаецца ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ або ${\displaystyle D[X]}$. У статыстыцы часта ўжываецца абазначэнне ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$.

Прыклад шчыльнасці дзвюх нармальна размеркаванных выпадковых велічынь з рознымі дысперсіямі. Велічыня з зялёным графікам шчыльнасці мае большую дысперсію, чым велічыня з чырвоным графікам.

Квадратны корань з дысперсіі, роўны ${\displaystyle \sigma }$, называецца сярэднім квадратовым адхіленнем, стандартным адхіленнем або стандартным роскідам. Стандартнае адхіленне вымяраецца ў тых жа адзінках, што і сама выпадковая велічыня, а дысперсія вымяраецца ў квадратах гэтай адзінкі вымярэння.

З няроўнасці Чабышова вынікае, што імавернасць таго, што выпадковая велічыня аддалена ад свайго матэматычнага спадзявання больш чым на ${\displaystyle k}$ стандартных адхіленняў, складае менш за ${\displaystyle 1/k^{2}}$. Так, для выпадковай велічыні, якая мае нармальнае размеркаванне, як мінімум у ${\displaystyle 95\,\%}$ выпадкаў значэнні будуць не далей за два стандартных адхіленні (${\displaystyle 2\sigma }$) ад сярэдняга, а ў прыкладна ${\displaystyle 97{,}7\,\%}$ — не далей за ${\displaystyle 3\sigma }$. Гэтая заканамернасць для нармальнага размеркавання носіць назву «правіла трох сігм».

Дысперсія — тое самае, што другі цэнтральны момант выпадковай велічыні.

Азначэнне

Для выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$, зададзенай на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, дысперсіяй называецца значэнне^[1]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X):=\int _{\Omega }(X(\omega )-\mathbb {E} [X])^{2}dP(\omega )=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}],}$

дзе ${\displaystyle \mathbb {E} [X]}$ — матэматычнае спадзяванне велічыні ${\displaystyle X}$.

Калі інтэграл у азначэнні роўны ${\displaystyle +\infty }$, кажуць, што дысперсіі для гэтай выпадковай велічыні не існуе.

Уласцівасці

Дысперсія выпадковай велічыні мае наступныя ўласцівасці:

• Калі дысперсія і матэматычнае спадзяванне існуюць, то дысперсію можна выразіць формулай^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}.}$

• Для ўсякага рэчаіснага ліку ${\displaystyle c}$ праўдзіцца^[3]

${\displaystyle \operatorname {Var} (cX)=c^{2}\operatorname {Var} (X)}$

і ${\displaystyle \operatorname {Var} (c+X)=\operatorname {Var} (X).}$

Дысперсія сумы выпадковых велічынь

Калі выпадковыя велічыні незалежныя, дысперсія іх сумы роўная суме іх дысперсій^[4]:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Var} (X_{i}).}$

Для дзвюх магчыма залежных велічынь, формула сумы выглядае наступным чынам:

${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {cov} (X,Y),}$

дзе ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$ — іхняя каварыяцыя^[5].

Формулу сумы можна абагульніць для лінейнай камбінацыі^[en] адвольнай колькасці выпадковых велічынь^[6]:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}c_{i}c_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j}).}$