Нармальнае размеркаванне

Нарма́льнае размеркава́нне (або размеркаванне Га́уса) — размеркаванне імавернасцей, графік шчыльнасці якога нагадвае звон з пікам пасярэдзіне і сіметрычнымі бакамі. З дапамогай нармальнага размеркавання часта мадэлююць велічыні, сканцэнтраваныя вакол аднаго значэння, хаця гэта не адзінае размеркаванне падобнага тыпу.

Артыкул пра аднавымернае нармальнае размеркаванне. Пра многавымернае нармальнае размеркаванне гл. многавымернае нармальнае размеркаванне.

Нармальнае размеркаванне

Шчыльнасць імавернасці Чырвоная лінія адпавядае стандартнаму нармальнаму размеркаванню
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
Параметры	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ — каэфіцыент зруху ${\displaystyle \sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}}$ — каэфіцыент маштабу[en]
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Шчыльнасць імавернасці	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle \Phi ({\frac {x-\mu }{\sigma }})={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Функцыя квантылей	${\displaystyle \mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle \mu }$
Медыяна	${\displaystyle \mu }$
Мода	${\displaystyle \mu }$
Дысперсія	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Сярэдняе абсалютнае адхіленне[en]	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle 0}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle 0}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+{\frac {1}{2}}}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle \exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle \exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}}$
Разыходжанне Кульбака-Лейблера[en]	${\displaystyle {1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}}$

Нармальнае размеркаванне выконвае важную функцыю ў статыстыцы і іншых навуках, бо часта паўстае ва ўсялякіх прыродных працэсах. Напрыклад, у фізіцы з дапамогай нармальнага размеркавання мадэлюецца хібнасць мерання. У статыстыцы звычайна робіцца дапушчэнне, што памылкі метаду найменшых квадратаў^[en] нармальна размеркаваныя.

Цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры выкананні некаторых умоў размеркаванне выбаркавага сярэдняга^[en] збягаецца да нармальнага размеркавання пры павелічэнні выбаркі. Таму фізічныя велічыні, якія атрымліваюцца як сярэдняе ці сума шэрагу незалежных працэсаў, часта маюць размеркаванні, блізкія да нармальнага.

Часам размеркаванне Гауса называюць звонападобнай крывой (англ.: bell curve, bellshaped curve) праз выгляд графіка яго шчыльнасці, хаця шмат іншых размеркаванняў маюць графік шчыльнасці ў выглядзе звана (напрыклад, размеркаванні Кашы, Ст’юдэнта, лагістычнае^[ru]).

Азначэнне

Кажучы строга, нармальнае размеркаванне — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей супадае з функцыяй Гауса^[1]:86:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}$

дзе параметр μ — матэматычнае спадзяванне, медыяна і мода размеркавання, а параметр σ — стандартнае адхіленне (σ² — дысперсія) размеркавання. Пры павелічэнні ${\displaystyle \sigma }$, графік шчыльнасці нармальнага размеркавання расцягваецца ў гарызантальным кірунку^[1]:87.

Такім чынам, аднамернае нармальнае размеркаванне з’яўляецца двухпараметрычным сямействам размеркаванняў.

Стандартнае нармальнае размеркаванне

У выпадку, калі матэматычнае спадзяванне роўнае 0, а дысперсія — 1, нармальнае размеркаванне называецца стандартным нармальным размеркаваннем. Ягоная шчыльнасць апісваецца формулай

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}},}$

прымае найбольшае значэнне ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ у пункце ${\displaystyle z=0}$ і мае пункты перагіну^[en] ў ${\displaystyle z=+1}$ і ${\displaystyle z=-1}$.

Хаця такое азначэнне стандартнага нармальнага размеркавання найбольш распаўсюджана, некаторыя аўтары ўжываюць гэты тэрмін для апісання іншых асобных выпадкаў размеркавання Гауса. Напрыклад, Гаус стандартным нармальным называў размеркаванне са шчыльнасцю

${\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}},}$

дысперсія якога роўная 1/2. Стывен Стыглер^[en][2] увёў азначэнне

${\displaystyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}$

што мае простую форму запісу і дысперсію ${\displaystyle \sigma ^{2}=1/(2\pi ).}$

Функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання звычайна абазначаецца грэчаскай літарай ${\displaystyle \Phi }$ (фі) і мае выгляд інтэграла

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt.}$

Характарыстыкі

Матэматычнае спадзяванне

Каб даказаць, што матэматычнае спадзяванне нармальнага размеркавання роўнае ${\displaystyle \mu }$, скарыстаемся^[1]:121 заменай^[en] ${\displaystyle t=(x-\mu )/\sigma }$ і інтэгралам Гауса^[en] ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\lambda t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{\lambda }}}:}$

${\displaystyle \mathbb {E} [x]=\int _{-\infty }^{\infty }x{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(\mu +t\sigma )e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt=}$

${\displaystyle ={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }te^{\frac {-t^{2}}{2}}dt=}$

${\displaystyle ={\frac {\mu {\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {2\pi }}}+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}\left(-e^{\frac {-t^{2}}{2}}\right){\Bigg \vert }_{-\infty }^{\infty }=\mu .}$

Дысперсія

Дысперсію нармальнага размеркавання можна знайсці наступным чынам^[3]:

${\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx-\mu ^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{\infty }({\sqrt {2}}\sigma t+\mu )^{2}e^{-t^{2}}dt-\mu ^{2}\quad }$ — падстаноўка ${\displaystyle t={\frac {x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(2\sigma ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt+2{\sqrt {2}}\sigma \mu \int _{-\infty }^{\infty }te^{-t^{2}}dt+\mu ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)-\mu ^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(2\sigma ^{2}\int _{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt+2{\sqrt {2}}\sigma \mu \left[-{\frac {1}{2}}e^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\mu ^{2}{\sqrt {\pi }}\right)-\mu ^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt}$

${\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}t\right)\cdot (-2te^{-t^{2}})dt}$

${\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left(\left[-{\frac {t}{2}}e^{-t^{2}}\right]_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)\quad }$ — інтэграванне часткамі^[en]

${\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle =\sigma ^{2}.}$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. Stigler, Stephen M. (1982). "A Modest Proposal: A New Standard for the Normal". The American Statistician. 36 (2): 137–138. doi:10.2307/2684031. JSTOR 2684031.
3. Integration by Parts (нявызн.).