Мера Жардана

Ме́ра Жарда́на (або Ме́ра Пеа́на-Жарда́на) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і n-мернага аб’ёму) у n-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова

Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.

Мера Жардана ${\displaystyle ~m\Delta }$ паралелепіпеда ${\displaystyle \Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i}]}$ у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ вызначаецца як здабытак

${\displaystyle m\Delta =\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

Для абмежаванага мноства ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ вызначаюцца:

• вонкавая (знешняя) мера Жардана

  ${\displaystyle m_{e}E=\inf \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E}$

• унутраная мера Жардана

  ${\displaystyle m_{i}E=\sup \sum _{k=1}^{N}m\Delta _{k},\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing ,}$ калі ${\displaystyle k\neq m,}$

дзе ${\displaystyle \Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}}$ — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства ${\displaystyle ~E}$ называецца вымерным па Жардану (квадравальным пры n = 2, кубавальным пры n ≥ 3), калі ${\displaystyle ~m_{e}E=m_{i}E.}$ У гэтым выпадку мера Жардана роўная ${\displaystyle ~mE=m_{e}E=m_{i}E.}$

Уласцівасці

• Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
• Абмежаванае мноства ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}}$ вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
  • У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
• Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для ${\displaystyle ~E}$ і ${\displaystyle {\bar {E}}}$ (замыкання мноства ${\displaystyle ~E}$) і раўняецца меры Барэля ${\displaystyle {\bar {E}}}$.
• Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану

Разглядзім меру Жардана ${\displaystyle m,}$ вызначаную на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ і няхай ${\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1\}}$ — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай ${\displaystyle X=A\cap \mathbb {Q} ^{2}}$ — мноства ўсіх пунктаў мноства ${\displaystyle A}$ з рацыянальнымі каардынатамі, тады ${\displaystyle X}$ — невымернае па Жардану мноства, бо

${\displaystyle m_{e}X=1,\;m_{i}X=0,\;m_{e}X\neq m_{i}X,}$

г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Гл. таксама

• Мера мноства
• Мера Лебега
• Мера Хаусдорфа
• Мера Барэля (англ.)

Літаратура

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д. Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
• Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
• Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;