Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага размеркавання. Напрыклад, такое размеркаванне маюць колькасці выпадзенняў кожнага значэння на k-гранным кубіку, які падкідаецца n разоў. Для n незалежных выпрабаванняў, якія маюць k магчымых зыходаў з фіксаванымі імавернасцямі, паліномнае размеркаванне апісвае імавернасць кожнай камбінацыі колькасцей кожнага з гэтых зыходаў.

Паліномнае размеркаванне

Параметры	${\displaystyle n>0}$ колькасць выпрабаванняў (цэлая) ${\displaystyle k>0}$ колькасць магчымах несумяшчальных зыходаў (цалая) ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ імавернасці зыходаў, дзе ${\displaystyle p_{1}+\dots +p_{k}=1}$
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle \left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}\geq 0(i=1,\dots ,k)\right\rbrace }$
Функцыя імавернасці	${\displaystyle {\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}}$
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}}$
Дысперсія	${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle -\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)}$
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}\right)^{n}}$ дзе ${\displaystyle i^{2}=-1}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}z_{i}{\biggr )}^{n}}$ для ${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}}$

Калі ${\displaystyle k=2}$ і ${\displaystyle n=1}$, паліномнае размеркаванне супадае з размеркаваннем Бэрнулі. Для ${\displaystyle k=2}$ і ${\displaystyle n>1}$ — з біномным размеркаваннем. Для ${\displaystyle k>2}$ і ${\displaystyle n=1}$ — з катэгарыяльным размеркаваннем^[en].

Азначэнне

Няхай k — натуральны лік і кожнае выпрабаванне мае адзін з k магчымых зыходаў з імавернасцямі p₁, …, p_k. Праводзіцца n незалежных выпрабаванняў. З таго, што зыходы несумяшчальныя^[en] і адзін з іх мусіць адбыцца маем p_i ≥ 0 для i = 1, …, k і ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$. Калі выпадковыя велічыні X_i прымаюць значэнні колькасці выпрабаванняў, у якіх назіраўся зыход i, кажуць, што выпадковы вектар X = (X₁, …, X_k) мае паліномнае размеркаванне з параметрамі n і p, дзе p = (p₁, …, p_k). Хаця выпрабаванні незалежныя, велічыні X_i залежныя, бо іх сума мае быць роўнай n.

Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці паліномнага размеркавання мае выгляд^[1]:100

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\dots ,X_{k}=x_{k})\\&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\times \cdots \times p_{k}^{x_{k}}},\quad &\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&\sum _{i=1}^{k}x_{i}\neq n\end{cases}}\end{aligned}}}$

для неадмоўных цэлых x₁, …, x_k.

Функцыю імавернасці можна перапісаць з выкарыстаннем гама-функцыі:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k};p_{1},\ldots ,p_{k})={\frac {\Gamma (\sum _{i}x_{i}+1)}{\prod _{i}\Gamma (x_{i}+1)}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}.}$

Гэтая форма паказвае падабенства да размеркавання Дзірыхле, якое выкарыстоўваецца як спалучанае апрыёрнае^[en] для паказнікавага размеркавання.

Прыклад

Няхай на выбарах у некаторай вялікай краіне кандыдат A набраў 20 % галасоў, кандыдат B — 30 %, а кандыдат C — 50 %. Калі ўзяць 6 выпадковых выбаршчыкаў, якая імавернасць таго, што сярод іх адзін галасаваў за кандыдата A, два за кандыдата B і тры за кандыдата C?

Строга кажучы, паводле ўмовы задачы адбываецца выбарка без вяртання^[en], таму для дакладнага адказу на пытанне трэба ведаць колькасць усіх выбаршчыкаў у краіне і скарыстацца многавымерным гіпергеаметрычным размеркаваннем. Але калі краіна дастаткова вялікая, паліномнае размеркаванне дазваляе атрымаць адказ з вельмі невялікай хібнасцю. Падстаўляючы значэнні ў формулу функцыі імавернасці, атрымліваем

${\displaystyle P(A=1,B=2,C=3)={\frac {6!}{1!2!3!}}(0.2^{1})(0.3^{2})(0.5^{3})=0.135}$

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.