Біномнае размеркаванне

Біномнае размеркаванне з параметрамі ${\displaystyle n}$ і ${\displaystyle p}$ — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні ${\displaystyle n}$ незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю ${\displaystyle p}$) і няўдача (з імавернасцю ${\displaystyle q=1-p}$). Кожнае такое выпрабаванне завецца выпрабаваннем Бэрнулі^[en], а шэраг зыходаў — працэсам Бэрнулі^[en]. Для аднаго выпрабавання (${\displaystyle n=1}$) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню Бэрнулі^[1]:81. Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку біномнага крытэрыю^[en] статыстычнай значнасці^[en][2].

Біномнае размеркаванне

Фунцыя імавернасці
Функцыя размеркавання
Абазначэнне	${\displaystyle B(n,p)}$
Параметры	${\displaystyle n\in \{0,1,2,\ldots \}}$ – колькасць выпрабаванняў ${\displaystyle p\in [0,1]}$ – імавернасць поспеху кожнага выпрабавання ${\displaystyle q=1-p}$ – імавернасць няўдачы выпрабавання
Носьбіт функцыі[en]	${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,n\}}$ – колькасць паспяховых выпрабаванняў
Функцыя імавернасці	${\displaystyle {\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}}$
Функцыя размеркавання	${\displaystyle \sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}$ або ${\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )}$ (рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя)
Матэматычнае спадзяванне	${\displaystyle np}$
Медыяна	${\displaystyle \lfloor np\rfloor }$ або ${\displaystyle \lceil np\rceil }$
Мода	${\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor }$ або ${\displaystyle \lceil (n+1)p\rceil -1}$
Дысперсія	${\displaystyle npq}$
Каэфіцыент асіметрыі	${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}}$
Каэфіцыент эксцэсу	${\displaystyle {\frac {1-6pq}{npq}}}$
Энтрапія[en]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}(2\pi enpq)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}$ у шэнанах[en]. Для натаў[en], лагарыфм мусіць быць натуральным.
Утваральная функцыя момантаў[en]	${\displaystyle (q+pe^{t})^{n}}$
Характарыстычная функцыя[en]	${\displaystyle (q+pe^{it})^{n}}$
Імавернасная ўтваральная функцыя	${\displaystyle G(z)=[q+pz]^{n}}$
Інфармацыя Фішэра[en]	${\displaystyle g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}}$ (для вызначанага ${\displaystyle n}$)

Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для мадэлявання^[en] колькасці «паспяховых» элементаў у выбарцы^[en] з вяртаннем^[en] памерам ${\displaystyle n}$ з генеральнай сукупнасці памерам ${\displaystyle N}$. Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання. Аднак калі ${\displaystyle N}$ значна большае за ${\displaystyle n}$, біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.

Азначэнне

Функцыя імавернасці

Выпадковая велічыня ${\displaystyle X}$, якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ і ${\displaystyle p\in [0,1]}$ запісваецца як ${\displaystyle X\sim B(n,p).}$ Імавернасць назірання ${\displaystyle k}$ поспехаў у ${\displaystyle n}$ выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:

${\displaystyle p_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

для ${\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n}$, дзе

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

— біномны каэфіцыент^[en], ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання ${\displaystyle k}$ поспехаў роўная ${\displaystyle p^{k}}$, а ${\displaystyle n-k}$ няўдач адбываюцца з імавернасцю ${\displaystyle (1-p)^{n-k}}$. Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек ${\displaystyle k}$ з шэрагу ${\displaystyle n}$ выпрабаванняў, і існуе ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ спалучэнняў з ${\displaystyle n}$ выпрабаванняў па ${\displaystyle k}$.

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання для ${\displaystyle k\in [0,n]}$ мае выгляд:

${\displaystyle F_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\leq k)=\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}$

дзе ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$ — цэлая частка^[en] ад ${\displaystyle k}$.

Прыклад

Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

${\displaystyle p_{B(6,0.3)}(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}$

Характарыстыкі

Няхай ${\displaystyle X\sim B(n,p).}$ Тады можна запісаць ${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$ дзе кожная велічыня ${\displaystyle X_{i}}$ мае размеркаванне Бэрнулі з параметрам ${\displaystyle p}$ і ўсе ${\displaystyle X_{i}}$ незалежныя адна ад адной. Ведаючы характарыстыкі размеркавання Бэрнулі ${\displaystyle (\mathbb {E} [X_{i}]=p}$ і ${\displaystyle Var(X_{i})=p(1-p))}$, можна знайсці матэматычнае спадзяванне і дысперсію біномнага размеркавання^[1]:118:

${\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} \left[\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [X_{i}]=np,}$

${\displaystyle Var(X)=Var\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})=np(1-p)=npq.}$

Сувязь з іншымі размеркаваннямі

Размеркаванне Бэрнулі

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для ${\displaystyle n=1}$^[1]:81. Іншымі словамі, велічыня ${\displaystyle X\sim B(1,p)}$ мае такое ж размеркаванне, як і велічыня ${\displaystyle X\sim Bernoulli(p).}$

Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. Westland, J. Christopher (2020). Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession. Chicago, IL, USA: Springer. p. 53. ISBN 978-3-030-49091-1.