Пастаянная Мадэлунга

Пастаянная Мадэлунга - велічыня, якая звязвае электрастатычны патэнцыял у іонных крышталічных рашотках з параметрамі крышталічнай рашоткі. Названа ў гонар Эрвіна Мадэлунга.

Азначэнне

Энергію электрастатычнага ўзаемадзеяння аднаго іона ${\displaystyle E_{i}}$ ў іонным крышталі можна прадставіць як

${\displaystyle E_{i}={\frac {z_{i}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\sum _{j\neq i}{\frac {z_{j}}{r_{ij}}},}$

дзе ${\displaystyle r_{ij}=|r_{i}-r_{j}|}$ - адлегласці паміж іонамі ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$,

• ${\displaystyle z_{j}}$ - зарад іона ${\displaystyle j}$,
• ${\displaystyle e}$ - зарад электрона,
• ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ - электрычная пастаянная.

Калі між'іонная адлегласць нармавана на адлегласць паміж бліжэйшымі суседзямі ${\displaystyle r_{0}}$ (якая залежыць ад параметраў крышталічнай рашоткі і тыпу структуры крышталя), то атрымаем

${\displaystyle E_{i}={\frac {z_{i}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}\sum _{j}{\frac {z_{j}}{r_{ij}/r_{0}}}={\frac {z_{i}e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{0}}}M,}$

дзе ${\displaystyle M}$ — пастаянная Мадэлунга.

Для крышталічнай рашоткі тыпу NaCl з зарадамі іонаў ±1 канстанта Маделунга вызначаецца як

${\displaystyle M_{\text{NaCl}}={\sum _{j,k,\ell =-\infty }^{\infty }}{{(-1)^{j+k+\ell }} \over {\sqrt {j^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}.}$

Гэты рад (і падобныя рады для іншых тыпаў крышталёў) сыходзіцца вельмі дрэнна, і для яго вылічэння прымяняюць спецыяльныя метады^[en][1][2].

Значэнні пастаяннай Мадэлунга

Тып структуры	Прыклад злучэння	Каардынацыйны лік	Пастаянная Мадэлунга
Хларыд натрыю	NaCl, AgCl, CdO, PbS	6	1,747558
Хларыд цэзію	CsCl, TlCl, RbF	8	1,763
Вюрцыт	ZnS, BeO, ZnO, CdS	4	1,641
Сфалерыт (цынкавая абманка)	ZnS, CuCl, AgI, HgS	4	1,638
Флюарыт	CaF2, PbF2, UO2, Na2S	8(4)	5,039
Рутыл	TiO2, MgF2, MnO2, NiF2	6(3)	4,816
Купрыт	Cu2O	4(2)	4,332

Зноскі

1. Ewald P.P. // Ann. d. Phys, 64, 253 (1921).
2. Ewjen H.M.// Phys. Rev., 39, 675 (1932).