Рэзультант

Рэзульта́нт — лікавая велічыня, якая дазваляе праверыць два мнагачлены на наяўнасць агульных каранёў. З дапамогай рэзультанта можна звесці развязанне сістэмы алгебраічных ураўненняў да развязання аднаго ўраўнення з адным невядомым.

Азначэнне

Рэзультант вызначаюць або праз вызначнік матрыцы Сільвестра, або праз карані мнагачленаў. Абодва гэтыя азначэнні раўназначныя, і калі адно з іх прыняць за зыходнае, то другое атрымліваецца як вынік.

Праз вызначнік матрыцы Сільвестра

Гл. таксама: Матрыца Сільвестра

Для двух мнагачленаў

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}$

${\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}}$

рэзультант азначаюць як вызначнік матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра) парадку m + n:^[1]

${\displaystyle R(f,g)=\left|{\begin{array}{cccccccc}a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\\&&\ddots &\ddots &\dots &\ddots &\ddots \\&&&b_{m}&b_{m-1}&\dots &b_{1}&b_{0}\end{array}}\right|,}$

дзе на свабодных месцах стаяць нулі.

Праз карані мнагачленаў

Няхай

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0},}$

${\displaystyle g(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_{0}.}$

Калі ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ − карані мнагачлена f(x), а ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2},\dots ,\beta _{m}}$ − карані g(x), то рэзультант вызначаюць як^[2]

${\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}b_{m}^{n}\prod _{1\leq i\leq n \atop 1\leq k\leq m}(\alpha _{i}-\beta _{k}).}$

Уласцівасці

• Рэзультант пары мнагачленаў роўны нулю, калі і толькі калі яны маюць агульны корань.

Тоеснасці

Няхай f і g − мнагачлены, і deg f = n, deg g = m.

• ${\displaystyle R(f,g)=a_{n}^{m}\prod _{i=1}^{n}g(\alpha _{i})=(-1)^{m\cdot n}b_{m}^{n}\prod _{k=1}^{m}f(\beta _{k})}$

• ${\displaystyle R(g,f)=(-1)^{m\cdot n}R(f,g)}$

• ${\displaystyle R(fh,g)=R(f,g)R(h,g)}$

• Калі p = f + g h і deg p = deg f, то

  ${\displaystyle R(p,g)=R(f,g)}$

Сувязь з дыскрымінантам (адрознікам)

Гл. таксама: Дыскрымінант

Няхай поле K мае нулявую характарыстыку. Тады для любога мнагачлена ${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}\in K[x]}$ праўдзіцца тоеснасць^[2]

${\displaystyle a_{n}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f').}$

Гл. таксама

• Дыскрымінант