Формула поўнай імавернасці

Формула поўнай імавернасці дае магчымасць падлічыць імавернасць падзеі праз умоўныя імавернасці гэтай падзеі ў дапушчэнні некаторых гіпотэз і імавернасці гэтых гіпотэз.

Фармулёўка

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}$ — поўная група падзей і ${\displaystyle P(A_{j})>0}$ для ўсіх ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$, то для кожнай падзеі ${\displaystyle B}$ справядліва роўнасць

$${\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць ${\displaystyle P(B|A_{k})}$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць ${\displaystyle B}$ пры выкананні гіпотэзы ${\displaystyle A_{k}}$»^[1]:37.

Доказ

Распішам ${\displaystyle B}$ як $${\displaystyle B=\Omega B=(A_{1}+A_{2}+\dots +A_{n})B=A_{1}B+A_{2}B+\dots +A_{n}B,}$$ дзе ${\displaystyle \Omega }$ — прастора элементарных падзей, а ўсе падзеі ${\displaystyle A_{k}B}$ парамі дыз’юнктныя. Дастасоўваючы ўласцівасць канечнай адытыўнасці і тэарэму множання імавернасцей, атрымліваем $${\displaystyle P(B)=P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}B\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

Гл. таксама

• Формула поўнага матэматычнага спадзявання

Зноскі

1. Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.