Моманты выпадковай велічыні

Момант выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка размеркавання выпадковай велічыні.

Азначэнне

Момантам парадку ${\displaystyle k}$ выпадковай велічыні ${\displaystyle X}$ адносна пункта ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ завецца лік^[1]

${\displaystyle \nu _{k}(a):=\mathbb {E} [(X-a)^{k}],}$

дзе ${\displaystyle \mathbb {E} }$ — матэматычнае спадзяванне. Кажуць, што момант існуе, калі існуе матэматычнае спадзяванне ў правай частцы роўнасці. Інакш кажуць, што момант не існуе.

Калі ${\displaystyle a=0}$ момант завецца пачатковым, а пры ${\displaystyle a=\mathbb {E} [X]}$ — цэнтральным.

Абсалютным момантам завецца^[2]

${\displaystyle m_{k}(a):=\mathbb {E} [|X-a|^{k}],}$

${\displaystyle \displaystyle k}$-м фактарыяльным момантам выпадковай велічыні ${\displaystyle \displaystyle X}$ называецца велічыня

${\displaystyle \mu _{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}$

калі матэматычнае спадзяванне ў правай частцы гэтай роўнасці існуе^[3].

Для выпадковых вектараў існуе таксама паняцце змяшанага моманта. Велічыня ${\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}^{k_{1}}X_{2}^{k_{2}}\dots X_{n}^{k_{n}}]}$ завецца змяшаным пачатковым момантам, а ${\displaystyle \mathbb {E} [(X_{1}-\mathbb {E} [X_{1}])^{k_{1}}(X_{2}-\mathbb {E} [X_{2}])^{k_{2}}\dots (X_{n}-\mathbb {E} [X_{n}])^{k_{n}}]}$ — змяшаным цэнтральным момантам парадку ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+\dots k_{n}}$^[4].

Прыклады

Матэматычнае спадзяванне

Асноўны артыкул: Матэматычнае спадзяванне

Першы пачатковы момант ${\displaystyle \nu _{1}(0)}$ ёсць матэматычным спадзяваннем выпадковай велічыні.

Дысперсія

Асноўны артыкул: Дысперсія выпадковай велічыні

Другі цэнтральны момант ${\displaystyle \nu _{2}(\mathbb {E} [X])}$ завецца дысперсіяй выпадковай велічыні ${\displaystyle X.}$

Дысперсія — мінімальнае значэнне моманту другога парадку ${\displaystyle \nu _{2}(a),}$ якое дасягаецца ў пункце ${\displaystyle a=\mathbb {E} [X]}$^[5].

Моманты другога парадку запісваюцца праз дысперсію як ${\displaystyle \nu _{2}(a)=Var(X)+(E[X]-a)^{2}.}$

Уласцівасці

• Калі існуе момант ${\displaystyle \displaystyle k}$-га парадку, то існуюць і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў ${\displaystyle 1\leqslant k'<k}$^[2].
• У сілу лінейнасці матэматычнага спадзявання цэнтральныя моманты можна запісаць праз пачатковыя, і наадварот^[6]. Напрыклад:

${\displaystyle \displaystyle \mu _{1}=0,}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}=\nu _{2}-\nu _{1}^{2},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{3}=\nu _{3}-3\nu _{1}\nu _{2}+2\nu _{1}^{3},}$

${\displaystyle \displaystyle \mu _{4}=\nu _{4}-4\nu _{1}\nu _{3}+6\nu _{1}^{2}\nu _{2}-3\nu _{1}^{4},}$

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C_{n}^{k}\nu _{k}\nu _{1}^{n-k},}$

дзе ${\displaystyle \mu _{n}}$ — цэнтральны момант, а ${\displaystyle \nu _{n}}$ — пачатковы момант парадку ${\displaystyle n}$.