Множество

В математиката множеството представлява съвкупност от различни обекти, наричани още елементи, която се разглежда като едно цяло.^[1] Елементите в множествата не могат да се повтарят и не са подредени по специален ред. Множествата са едни от най-важните обекти в математиката, въпреки че са въведени за първи път едва в края на XIX век. Математическата дисциплина, която разглежда изучаването на тяхната структура и свойства, се нарича теория на множествата. Цялата съвременна математика се изгражда логически на нейна основа.

Дефиниции

Интуитивно, множеството представлява съвкупност от обекти. Обектите се наричат негови елементи и се казва, че принадлежат на множеството. Например, числото 1 е елемент на множеството ⭐️на естествените числа, София принадлежи на множеството на всички световни столици.

Наредбата на елементите и броят на срещанията на даден елемент в множеството са без значение. Две множества A и B са равни, когато имат едни и същи елементи (тоест всеки елемент на A е елемент и на B и обратно). С теоретично значение се въвежда понятието празно множество, което представлява множество без елементи.

Горната дефиниция не е напълно коректна, защото използва понятието съвкупност, без да го дефинира. Всеки опит за точно дефиниране на съвкупност би довел до кръгова дефиниция. Поради това в математиката понятията множество и принадлежи се приемат за първични и не се дефинират строго. Всички други математически понятия могат да бъдат строго дефинирани, използвайки само тези два термина. Например елемент на множеството A се дефинира като всяко множество B, което принадлежи на A.

Подмножество

 Основна статия: Подмножество

Множеството ${\displaystyle A}$ се нарича подмножество на множеството ${\displaystyle B}$, когато всеки елемент на ${\displaystyle A}$ е елемент и на ${\displaystyle B}$.^[2] Това означава, че от ${\displaystyle a\in A}$ следва ${\displaystyle a\in B}$, както и че от ${\displaystyle a\not \in B}$ следва ${\displaystyle a\not \in A}$. Когато ${\displaystyle A}$ е подмножество на ${\displaystyle B}$, се пише ${\displaystyle A\subset B}$ или ${\displaystyle B\supset A}$.

Празно множество

 Основна статия: Празно множество

Празното множество ${\displaystyle \varnothing }$ въобще няма елементи и поради това е ясно, че за всеки обект ${\displaystyle x}$ е в сила ${\displaystyle x\not \in \varnothing }$. Празното множество е подмножество на всяко множество – изпълнено е включването ${\displaystyle \varnothing \subset A}$ за всяко множество ${\displaystyle A}$.

Описание

Едно множество се описва по два начина – с изброяване на елементите му или със задаване на условие, което те удовлетворяват.

Свойства

Равенство

Две множества са равни тогава и само тогава, когато всеки елемент на едното е елемент и на другото.

Крайност и безкрайност

Едно множество се нарича крайно, ако то съдържа n на брой елемента, където n е естествено число (може да бъде и 0). В противен случай, множеството се нарича безкрайно (виж. също дефиниция на безкрайно множество по Дедекинд).

Равномощност

Две множества се наричат равномощни, когато съществува взаимноеднозначно изображение между тях. Например в случая на множества с краен брой елементи това означава те да съдържат равен брой елементи.

Изброимост

Едно безкрайно множество се нарича изброимо, когато е равномощно на множеството на естествените числа.

Действия с множества

Сечение (${\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} }$)

Под сечение на две множества А и В разбираме множеството ${\displaystyle C=A\cap B:=\{x\in A}$ и ${\displaystyle x\in B\}}$ .

За операцията сечение на множестваважат комутативният и асоциативният закон;

${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ .

${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$.

Обединение (${\displaystyle \mathrm {A} \cap \mathrm {B} }$)

Под обединение на две множества А и В се разбира множеството ${\displaystyle C=A\cup B:=\{x\in A}$ или ${\displaystyle x\in B\}}$.

За действието обединение важат комутативния и асоциативният закон:

- ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$.

- ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$.

Между операциите обедиенение и сечение важат дистрибутивните закони (разместителното свойство в математиката):

- ${\displaystyle (A\cap B)\cup C=(B\cup C)\cap (A\cup C)}$.

- ${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(B\cap C)\cup (A\cap C)}$.

${\displaystyle A\cap B}$ (Сечение)

${\displaystyle A\cup B}$ (Обединение)

${\displaystyle A\setminus B}$

Вижте също

• Размито множество
• Дискретна математика