Оператор (математика)

Оператор (работник, изпълнител, от латински: operor – работа, акт) в математиката е изображение между множества, при което всяко от тях притежава някаква допълнителна структура (ред, топология, алгебрични операции).^[1] Понятието „оператор“ е обобщение на понятието функция и се използва в различни клонове на математиката; точното значение зависи от контекста, например при функционалния анализ операторите означават съпоставяния, които свързват една функция с друга функция („оператор във функционалното пространство“ вместо „функция от функция“). Съществуват и други оператори: нарастването на функция на една променлива, производната ѝ, примитивната функция и др.^[2]

Вижте пояснителната страница за други значения на Оператор.

---

Някои видове оператори:

• оператори във функционалното пространство (диференциране, интегриране, конволюция с ядрото, преобразование на Фурие) при функционален анализ;
• изображения (особено линейни) между векторни пространства (проектори, завъртания на координатите, хомотетии, умножение на вектор по матрица) в линейната алгебра;
• трансформация на последователности (конволюция на дискретни сигнали, медианен филтър) в дискретната математика.

Основна терминология

За оператора ${\displaystyle A:X\to Y}$ се казва, че той действа от множество ${\displaystyle X}$ към множество ${\displaystyle Y}$. Операторът може да не е дефиниран навсякъде в ${\displaystyle X}$; тогава говорим за неговата област на дефиниция ${\displaystyle D_{A}=D(A)\subset X}$. За ${\displaystyle x\in X}$ резултатът от оператора ${\displaystyle A}$ върху ${\displaystyle x}$ се означава с ${\displaystyle A(x)}$ или ${\displaystyle Ax}$.

Ако ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ са векторни пространства, то в множеството на всички оператори, преобразуващи ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, може да се разграничи класът на линейните оператори.

Ако ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ са векторни топологични пространства, то в набора от оператори, преобразуващи ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$, естествено се разграничава класът на непрекъснатите оператори, както и класът на линейно ограничените оператори и класът на линейните компактни оператори (наричани още напълно непрекъснати).

Класът на така наречените линейни оператори е основен за практиката. Той е и най-изследван. Пример за линеен оператор е операцията за умножение на ${\displaystyle n}$ -мерен вектор по матрица с размер ${\displaystyle n\times m}$. Този оператор изобразява ${\displaystyle n}$ -мерното векторно пространство в ${\displaystyle m}$ -мерно.