অয়লারের অভেদ

অয়লারের অভেদ হল একটি গণিতিক সমীকরণ। সুইস-জার্মান গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে নামকৃত করা হয়েছে। নিম্নরূপে তা প্রকাশ করা হলঃ

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$

The exponential function e^z can be defined as the limit of (1 + z/N)^N, as N approaches infinity, and thus e^iπ is the limit of (1 + iπ/N)^N. In this animation N takes various increasing values from 1 to 100. The computation of (1 + iπ/N)^N is displayed as the combined effect of N repeated multiplications in the complex plane, with the final point being the actual value of (1 + iπ/N)^N. It can be seen that as N gets larger (1 + iπ/N)^N approaches a limit of −1.

যেখানে,

${\displaystyle e\,\!}$ অয়লার সংখ্যা, স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি।

${\displaystyle i\,\!}$ কাল্পনিক একক, যা i² = −1, কে সিদ্ধ করে,

${\displaystyle \pi \,\!}$ পাই, যা বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অণুপাত।

অয়লারের অভেদকে অয়লারের সমীকরণও বলা হয়ে থাকে।

উৎপত্তি

অয়লারের সূত্রের জন্য একটি সাধারণ কোণ।

অয়লারের অভেদ হল অয়লারের সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রের জটিল বিশ্লেষণ থেকে, সেটি হলঃ

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

কোন বাস্তব সংখ্যা জন্য "x" । (ত্রিকোণমিতির ফাংশন sine এবং cosine রেডিয়ানে নেওয়া হবে, ডিগ্রীতে না।) বিশেদভাবে,

${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

থেকে

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$

এবং

${\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}$

এটি অনুসরণ করে যে

${\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}$

এবং আমরা পাই,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$