Euklidski vektor

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektor AB

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

Definicija

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.^[1]

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ iz ${\displaystyle R^{n}}$. Tada je:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=\left(B_{1}-A_{1},B_{2}-A_{2},\dots ,B_{n}-A_{n}\right),a{\overrightarrow {BA}}=\left(A_{1}-B_{1},A_{2}-B_{2},\dots ,A_{n}-B_{n}\right)}$

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=A+||AB||\cdot {\frac {\overrightarrow {AB}}{||{\overrightarrow {AB}}||}}}$

Ako ${\displaystyle ||AB||}$ zamjenimo sa ${\displaystyle \lambda }$ koje može biti bilo koji broj iz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku ${\displaystyle A}$ a za vektor pravca ima vektor ${\displaystyle AB}$. Ako je ${\displaystyle \lambda }$ samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački ${\displaystyle A}$.

Ako je ${\displaystyle ||AB||\neq \lambda }$ rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor ${\displaystyle AB'}$ ovo znači da važi:

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AB'}}={\overrightarrow {0}}}$

Označavanje

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr ${\displaystyle {\underset {^{\sim }}{a}}}$. Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer

vektor od koordinantnog početka ${\displaystyle O=(0,0)}$ do tačke ${\displaystyle A=(2,3)}$ je ${\displaystyle a(2,3)}$

U trodimenzionalnom prostoru ${\displaystyle R^{3}}$ vektor se označava sa

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ili ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{\text{x}},a_{\text{y}},a_{\text{z}})}$.

U n-dimensionalnom ${\displaystyle R^{n}}$ prostoru

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n-1},a_{n})}$ Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\\end{bmatrix}}=[a_{1}\ a_{2}\ a_{3}]}$. Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}=(1,0,0),\ {\mathbf {e} }_{2}=(0,1,0),\ {\mathbf {e} }_{3}=(0,0,1)}$.

odnosno

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1),\ }$

ili

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}+\mathbf {a} _{3}=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$.

Dekartove koordinate

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke ${\displaystyle A=(1,0,0)}$ i ${\displaystyle B=(0,1,0)}$ u prostoru određuju vektor ${\displaystyle \ overrightarrow{AB}(1,1,0)}$

Nula-vektor

Nula-vektor ${\displaystyle a_{0}}$ je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.^[2]

${\displaystyle {\overrightarrow {a_{0}}}={\overrightarrow {0}},\;|{\overrightarrow {a_{0}}}|=0}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AA}}={\overrightarrow {BB}}={\overrightarrow {0}}}$

Jedinični vektor

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor ${\displaystyle a}$ može se odrediti odgovarajući jedinični vektor ${\displaystyle v}$ istog pravca i smjera.

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\frac {\overrightarrow {a}}{|{\overrightarrow {a}}|}},\;{\overrightarrow {a}}\neq {\overrightarrow {0}}}$

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor ${\displaystyle (1,0,0)}$ je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku ${\displaystyle O(0,0,0)}$.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}|a|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}}$

Jednakost vektora

Dva vektora

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

i

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

su jednaka ako važi

${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}}$

Kolinearni i komplanarni vektori

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni ^[3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.^[4],

Projekcija vektora

Projekcija vektora

• Ortogonalna projekcija u ravni na pravu ${\displaystyle p}$ je funkcija koja svakoj tački

${\displaystyle A}$ ravni pridružuje tačku u kojoj normala na ${\displaystyle p}$, koja prolazi tačkom ${\displaystyle A}$, siječe prava ${\displaystyle p}$.

• Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu ${\displaystyle p}$ je funkcija koja svakoj tački

${\displaystyle A}$ prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom ${\displaystyle A}$,a okomita je na ${\displaystyle p}$, siječe pravu ${\displaystyle p}$.

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektori

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

i

${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$

su suprotna ako važi

${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}}$

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorima

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})}$, ${\displaystyle a_{i}\in K}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva ${\displaystyle K^{n}}$, a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer ${\displaystyle a_{1}}$ je prva koordinata vektora, ${\displaystyle a_{2}}$ je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektora

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.^[5]

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})\in K^{n}}$
${\displaystyle |a|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{2}}}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}}$

Množenje vektora skalarom

Množenje vektora ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\in K^{n}}$ nekim skalarom ${\displaystyle \alpha \in K}$ je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

${\displaystyle \alpha \cdot {\overrightarrow {a}}}$ = ${\displaystyle \alpha \cdot (a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})}$ = ${\displaystyle (\alpha \cdot a_{1},\alpha \cdot a_{2},...,\alpha \cdot a_{n}).}$

Sabiranje vektora

Sabiranje vektora

Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora ${\displaystyle a,b\in K^{n}\,}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{1},...,a_{n})}$
${\displaystyle {\overrightarrow {b}}=(b_{1},...,b_{n})}$

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

${\displaystyle +:(K^{n},K^{n})\rightarrow K^{n}\,}$
${\displaystyle {\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}}$,
${\displaystyle c_{i}=a_{i}+b_{i}\,}$, gde je ${\displaystyle i=1,...,n\,}$

Pri čemu će vektor c biti iz prostora ${\displaystyle K^{n}\,}$. Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

${\displaystyle {\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+(-{\overrightarrow {b}})}$

Pri čemu ${\displaystyle -{\overrightarrow {b}}=(-b_{1},-b_{2},...,-b_{n})}$.

Skalarno množenje vektora

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz ${\displaystyle K^{n}}$ u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz ${\displaystyle K^{n}}$ bi proizvod k izgledao ovako:

${\displaystyle \cdot$ :(K^{n},K^{n})\rightarrow K}
${\displaystyle k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}}$, ${\displaystyle k\in K}$
${\displaystyle k=\sum _{k=1}^{n}{a_{i}\cdot b_{i}}}$, gde je ${\displaystyle i=1,...,n}$

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

${\displaystyle k={\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=|a|\cdot |b|\cdot \cos \omega }$,

pri čemu je ${\displaystyle \omega }$ ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}$

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvod

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore (${\displaystyle E^{3}\,}$) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}\in E^{3}}$
${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})-{\overrightarrow {j}}(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})+{\overrightarrow {k}}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

Jer su ${\displaystyle {\overrightarrow {i}}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {j}}=(0,1,0)}$ i ${\displaystyle {\overrightarrow {k}}=(0,0,1)}$ vektori kanonske baze ${\displaystyle E^{3}\,}$.

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}\bot {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}}}$, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
${\displaystyle |{\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}|=|a||b|\sin \omega }$, gde je ${\displaystyle \omega }$ ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}}=-({\overrightarrow {b}}\times {\overrightarrow {a}})}$, tj. vektorski proizvod nije komutativan.
${\displaystyle (\alpha \cdot {\overrightarrow {a}})\times {\overrightarrow {b}}=\alpha ({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})}$, gde je ${\displaystyle \alpha \in E}$. Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvod

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz ${\displaystyle E^{3}}$ preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa ${\displaystyle [{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]}$. A po definiciji je:

${\displaystyle [{\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}]=({\overrightarrow {a}}\times {\overrightarrow {b}})\cdot {\overrightarrow {c}}=}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}},}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},{\overrightarrow {c}}\in E^{3}}$

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

• ${\displaystyle [x,y,z]=-[y,x,z]}$
• ${\displaystyle [x,y,z]=[z,x,y]=[y,z,x]}$
• ${\displaystyle [\alpha x,y,z]=\alpha [x,y,z]}$
• ${\displaystyle [x+t,y,z]=[x,y,z]+[t,y,z]}$

Također pogledajte

• Kompleksan broj
• Koordinatni sistem
• Površinska normala
• Vektorska analiza