Komutativnost

U matematici, komutativnost je mogućnost promjene redoslijeda nečega bez uticaja na krajnji rezultat. To je fundamentalna osobina mnogih binarnih operacija kroz cijelu matematiku, te mnogi dokazi zavise od nje. Komutativnost jednostavnih operacija, kao što su množenje ili sabiranje brojeva, bile su korištene godinama kao osobina koja nije imala ime sve do 19. vijeka, kada su matematičari počeli raditi na teoriji matematike.

Primjer koji pokazuje komutativnost sabiranja (3 + 2 = 2 + 3)

Matematičke definicije

Termin "komutativan" se koristi u više sličnih konteksta.^[1][2]

1. Binarna operacija ∗ na skupu S je komutativna ako je:

${\displaystyle \forall x,y\in S:x*y=y*x\,}$

- Za operaciju, koja ne zadovoljava gornju osobinu, kažemo da nije komutativna.

2. Može se reći da je x komutativno sa y pod ∗ ako je:

${\displaystyle x*y=y*x\,}$

3. Binarna funkcija f:A×A → B je komutativna ako je:

${\displaystyle \forall x,y\in A:f(x,y)=f(y,x)\,}$

Slične osobine

Grafik koji pokazuje simetriju funkcije sabiranja

Asocijativnost

Glavni članak: Asocijativnost

Osobina asocijativnosti je usko vezana sa osobinom komutativnosti. Osobina asocijativnosti kaže da redoslijed, u kojem se operacije izvršavaju, ne utiče na konačni rezultat. U suprotnosti, osobina komutativnosti kaže da redoslijed članova ne utiče na krajnji rezultat.

Simetrija

Glavni članak: Simetrija u matematici

Simetrija se može direktno povezati sa komutativnosti. Kada se komutativni operator napiše kao binarna funkcija, tada je rezultirajuća funkcija simetrična u odnosu na liniju y = x. Kao primjer, ako imamo funkciju f koja predstavlja sabiranje (komutativna operacija) tako da je f(x,y) = x + y, tada je f simetrična funkcija koja se može vidjeti na slici desno.

Primjeri

Komutativne operacije u svakodnevnom životu

• Oblačenje cipela predstavlja komutativnu operaciju, pošto nije bitno da li ubučete prvo lijevu ili desnu cipelu, jer je krajnji rezultat (obučene obe cipele), isti.

Komutativne operacije u matematici

Dobro poznati primjeri komutativnih binarnih operacija su:^[1]

• Sabiranje realnih brojeva, je komutativno pošto je

${\displaystyle y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

Na primjer 4 + 5 = 5 + 4, pošto su oba izraza jednaka 9.

• Množenje realnih brojeva, je komutativno pošto je

${\displaystyle yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R} }$

Na primjer, 3 × 5 = 5 × 3, pošto su oba izraza jednaka 15.