Infinitezimalni račun

Infinitezimalni račun jest područje u matematici koje se bavi funkcijama, derivacijama, integralima, limesima funkcije. Proučava razumijevanje i opisivanje promjena mjerljivih varijabli. Osnovna koncepcija kojom se opisuje promjena varijable je funkcija. Dvije glavne grane su diferencijalni račun i integralni račun. Infinitezimalni račun osnova je matematičke analize.

Primjenu nalazi u nauci, ekonomiji, tehnici itd. Služi za rješavanje mnogih matematičkih problema, koji se ne mogu riješiti algebrom ili geometrijom. Riječ "infinitesimalis" znači "beskrajno mala količina".

Historija

Isaac Newton

Gottfried Wilhelm Leibniz

U antičkom razdoblju bilo je ideja sličnih infinitezimalnom računu. Egipćani su računali zapreminu piramide bez vrha. Grci Eudoks i Arhimed koristili su metodu ekshaustacije, koja je metoda izračunavanja površine nekog oblika tako što se u njega ubacuje niz poligona, čije površine konvergiraju prema površini cijelog oblika. Tu metodu koristio je i Kinez Liu Hui u 3. stoljeću, da bi izračunao površinu kruga. U 5. stoljeću Ču Čungdži koristio je metodu, koja će se kasnije nazvati Cavalierov princip za volumen kugle.

Godine 499. indijski matematičar Aryabhata I računao je infinitezimalnim računom i zapisao astronomski problem u obliku diferencijalne jednačine. Na osnovu te jednačine u 12. stoljeću Bhaskara je razvio neku vrstu derivacije. Oko 1000. godine Ibnul-Hejsem osmislio je formulu za sve vrste četvrtih potencija i time priredio put za integralni račun. U 12. stoljeću perzijski matematičar Šaraf al-Din al-Tusi otkrio je pravilo za rastavljanje trinoma na proste faktore. U 17. stoljeću japanski matematičar Šinsuke Seki Kova dao je osnovu infinitezimalnom računu.

Ovo područje nezavisno jedan od drugog u otprilike isto vrijeme otkrili su Isaac Newton i Gottfried Wilhelm Leibniz. Otkrili su zakone diferencijalnog i integralnog računa, derivacije i približne polinomske serije. Njihov rad nastavili su Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass, Henri Léon Lebesgue i drugi.

Glavna poglavlja

Derivacija

Derivacija funkcije ${\displaystyle f}$ je granična vrijednost koeficijenta prirasta funkcije i prirasta argumenta kada prirast argumenta teži nuli.

Integral

Za danu funkciju f(x) realne varijable x i interval [a,b] na pravoj realnih brojeva, integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$

predstavlja površinu područja u xy-ravnini ograničenu grafom od f, x-osi, i vertikalnim crtama x=a i x=b.

Limes fukcije

Poglavlje limesa funkcije razvilo se iz problema, kako izračunati vrijednost funkcije u slučajevima, kada funkcija nije dobro definirana npr.: dijeljenje s nulom. Limes funkcije f u tački a je broj, kojemu se pridružuje funkcijska vrijednost f(x), kada se vrijednost x približuje a.

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$

npr.

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {sin(x)}{x}}\ =1}$

Osobine limesa

${\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits _{x\to p}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)+\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)-\lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)\cdot g(x))&=&\lim \limits _{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits _{x\to p}g(x)\\\lim \limits _{x\to p}&(f(x)/g(x))&=&{\lim \limits _{x\to p}f(x)/\lim \limits _{x\to p}g(x)}\end{matrix}}}$

Vanjski linkovi

• Teme o infinitezimalnom računu^{[mrtav link]} na PlanetMathu (en)