Zlatni rez

U matematici i umjetnosti, dvije veličine su u zlatnom rezu ako je omjer između sume te dvije veličine i veće od njih jednak sa odnosom veće veličine sa manjom veličinom. Zlatni rez je matematička konstanta, koja približno iznosi 1,6180339887.^[1]

Zlatni isječak je linijski segment prepolovljen na dva dijela prema pravilčima zlatnog reza. Ukupna dužina a + b je većem segmentu a isto što je a kraćem segmentu b.

Najkasnije od Renesanse, mnogi umjetnici i arhitekte su nastojali svoje radove praviti prema pravilima zlatnog reza, posebno u obliku zlatnog pravougaonika, u kojem je omjer duže stranice naspram dužine kraće stranice zlatni rez, a vjerovalo se da je ova proporcija estetski zadovoljavajuća. Matematičari su proučavali zlatni rez zbog njegovih jedinstvenih i interesantnih osobina.

Zlatni rez se često označava sa grčkim slovom ϕ (fi). Izgled zlatnog isječka ilustrira geometrijsku vezu koja definiše ovu konstantu. Izraženo algebarski:

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.}$

Ova jednačina ima, kao jedinstveno, pozitivno rješenje, algebarsko iracionalan broj

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots \,}$^[1]

Ostali nazivi, koji se koriste za ili za zlatnom rezu srodne pojmove, su zlatni isječak (latinski: sectio aurea), zlatna sredina, zlatni broj i grčko slovo fi (ϕ).^[2][3][4] Ostali termini, koji se susreću, jesu ekstremni i srednji omjer, medijalni isječak, božanska proporcija, požanski isječak (latinski: sectio divina), zlatna proporcija, zlatni omjer,^[5], te Fidiasova sredina.^[6][7][8]

Konstrukcija zlatnog pravougaonika:
1. Konstruišite jedinični kvadrat (crveno).
2. Povucite liniju sa sredine jedne stranice u suprotan ugao.
3. Iskoristite tu liniju kao radijus kako bi nacrtali luk koji definiše dužu dimenziju pravougaonika.

Historija

Teorija zlatnog reza započeta je u antici, a svoj procvat imala je u renesansi kada su umjetnici, matematičari, fizičari i astrolozi tražili savršenstvo u kompozicijama poznatih struktura.

Herodot (484. - 424. pne) „Jedan egipatski svećenik govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog trougla“

${\displaystyle v={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle b={\frac {a}{2}}{\sqrt {\varphi +2}}}$

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\sqrt {\varphi }}}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {\varphi }{2}}}}$

Grčki kipar Fidije u V vijeku pne.. primijenio je zlatni rez u dizajnu svojih skulptura i gradnji Partenona.

Platon (grčki filozof, V. i IV. vijek pne.) u „Timoteju“ opisuje pet pravilnih geometrijskih tijela kao osnovu harmonične strukture svijeta. Zlatni rez igra ključnu ulogu u dimenzijama i oblikovanju nekih od ovih tijela.

Pitagorejci (oko 500. god.pne.) dolaze do jednog od najvažnijih otkrića u matematici: - dijagonala i stranica kvadrata ( pravilnog peteugla) su nesamjerljive

${\displaystyle {\frac {d}{a_{5}}}=\varphi }$

Grčki matematičar Euklid prvi je ovaj broj uočio i matematički izrazio. Oko 300 godina prije Krista napisao je knjigu „Elementi“ u kojoj navodi prvu zabilježenu definiciju zlatnog reza.

Datu dužinu podijeliti tako da pravougaonik obuhvaćen cijelom dužinom i jednim odsječkom,bude jednak kvadratu na drugom odsječku.

${\displaystyle a(a-x)=x^{2}}$

${\displaystyle x^{2}+ax-a^{2}=0}$

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}a}$

Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Marko Vitruvije u djelu De architectura libri decem ili Deset knjiga o arhitekturi, posvećenom imperatoru Augustu. Pisao je o simetriji hramova, a njihove proporcije upoređuje s razmjerima čovječijeg tijela. Vitruvije je ucrtao ljudsko tijelo u kružnicu, što je kasnije ponovo interpretirao Leonardo Da Vinci

Fra Luca Pacioli (1446–1510) štampao je u Veneciji 1509. djelo De divina proportione, koje je imalo veliki uticaj i nakon kojeg zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijske osobine “božanske razmjere". Knjigu je ilustrirao Leonardo da Vinci.

Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine Elementar -Mathematik ( Čista elementarna matematika) prvi put koristi termin zlatni rez.

Oznaku ${\displaystyle \varphi }$ je 1909. predložio američki matematičar Mark Barr u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias 480–430. p. n. e.)

Izračunavanje

Spisak brojeva γ - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - φ - α - e - π - δ
Binarni	1.1001111000110111011...
Decimalni	1,6180339887498948482...
Heksadecimalni	1.9E3779B97F4A7C15F39...
Neprekidni razlomak	${\displaystyle 1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}}$
Algebarski oblik	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Za dvije veličine (pozitivni brojevi) a i b se kaže da su u zlatnom rezu ϕ ako vrijedi

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.}$

Ova jednačina jednoznačno definiše ϕ.

Desna jednačina pokazuje da je a = bϕ, što se može zamijeniti u lijevi dio, dajući

${\displaystyle {\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.}$

Poništavanjem b na obe strane, dobijamo

${\displaystyle {\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .}$

Množenjem obe strane sa ϕ i premještanjem članova vodi do:

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Jedino pozitivno rješenje ove kvadratne jednačine je

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\dots \,}$

Prikazi broja φ {\displaystyle \varphi }

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1{,}618033988...}$

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {1}}}{\varphi }}=\varphi -1=0.618033988...}$

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}={\sqrt {1+{\sqrt {1+\varphi }}}}}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1}}...}}}}}$

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}=1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\varphi }}}}=...}$

${\displaystyle \varphi =1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+...}}}}}}}}}$

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}}$

Također pogledajte

• Estetika
• Zlatni ugao
• Zlatna funkcija
• Zlatni pravougaonik
• Zlatni teougao (matematika)
• Traženje zlatnog isječka
• Fi
• Keplerov trougao
• Logaritamska spirala
• Fibonaccijev broj
• Modulor
• Sveta geometrija
• Ruže Heliogabalusa
• Plastični broj
• Penroseovo popločanje
• Dinamička simetrija
• Baza zlatnog reza
• Vitruvijev čovjek
• Kvadratni korijen od 5
• Srebrni rez
• Spisak radova dizajniranih sa zlatnim rezom