Keplerov trougao

Keplerov trougao je pravougli trougao kod koga dužine stranica čine geometrijski niz. Njihova razmjera je u vezi sa zlatnim presjekom.

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

Može se napisati u obliku ${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$, što je isto kao ${\displaystyle 1:1.272:1.618}$.^[1]

Trouglovi s ovakvom razmjerom dobili su ime po njemačkom matematičaru i astronomu Johannes Kepleru(1571-1630), koji je prvi pokazao da taj trougao karakteriše zlatna razmjera.

Keplerov trougao je kombinicuja dva ključna matematička pojma Pitagorine teoreme i zlatnog presjeka što je fasciniralo Keplera. To se vidi iz citata:

Geometrija ima dva blaga: jedno od njih je Pitagorina teorema, a drugo je zlatni presjek. Prvo se može porediti sa vrijednošću zlata, a drugo sa vrijednim draguljem.^[2]

Kepler zlatni presjek naziva i božanstvenom proporcijom (kao Luka Pačoli), ali i neprekidnom proporcijom.

Da je trougao sa straniacama ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$ i ${\displaystyle \varphi }$, pravougli proizlazi iz definicije kvadratnogpolinoma za zlatni presjek

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$

u obliku Pitagorine teoreme

${\displaystyle (\varphi )^{2}=({\sqrt {\varphi }})^{2}+(1)^{2}.}$

Konstrukcija Keplerovog trougla

Keplerov trougao može se konstruisati konstrukcijon zlatnog pravougaonika.

• Konstruisati kvadrat stranice dužine 1 (crveno)
• Povuči srednju duž kvadrata.
• Koristeći dužinu te linije kao radijus povuči luk (sivo), koji definše visinu zlatnog pravougaonika.
• Završiti crtež pravougaonika.
• Povući luk (poluprečnik kružnice duža strana pravougaonika) do presjeka sa suprotnom stranom pravougaonika. Dobili smo hipotenuzu.

Zanimljivo

• 

Neki izvori tvrde da se trougao s dimenzijama Keplerovog trougla može prepoznati u Velikoj piramidi u Gizi.^[3]

Izvori

• The Shape of the Great Pyramid / Roger Herz-Fischler (2000)
• A Brief History of Mathematics
• Squaring the Circle in the Great Pyramid Arhivirano 2. 9. 2011. na Wayback Machine
• The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence