![cover image](https://wikiwandv2-19431.kxcdn.com/_next/image?url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Group_action_on_equilateral_triangle.svg/langca-640px-Group_action_on_equilateral_triangle.svg.png&w=640&q=50)
Acció (matemàtiques)
From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, un grup de simetria és una abstracció emprada per descriure les simetries d'un objecte. Una acció de grup formalitza la relació entre el grup i les simetries de l'objecte; relaciona cada element del grup amb una transformada particular de l'objecte.
![]() |
Aquest article tracta sobre el concepte matemàtic. Vegeu-ne altres significats a «Acció». |
![Thumb image](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/Group_action_on_equilateral_triangle.svg/320px-Group_action_on_equilateral_triangle.svg.png)
En aquest cas, hom diu que el grup és un grup de permutacions (especialment si el conjunt és finit o no és un espai vectorial) o un grup de transformacions (sobretot si el conjunt és un espai vectorial i el grup actua com a transformacions lineals del conjunt). Una representació de permutacions d'un grup G és una representació de G com a grup de permutacions del conjunt (habitualment, si el conjunt és finit), i es pot descriure com a representació de grup de G mitjançant matrius permutació. És el mateix que una acció de grup de G sobre una base ordenada d'un espai vectorial.
Una acció de grup és una extensió del concepte de grup de simetria, en el qual tot element del grup "actua" com una transformació bijectiva (o "simetria") d'un conjunt donat, sense identificar-lo amb aquesta transformació. Això permet una descripció més comprensiva de les simetries d'un objecte, com un políedre, permetent que el mateix grup actuï sobre diferents conjunts de característiques, com el conjunt de vèrtexs, el conjunt d'arestes o el conjunt de cares del políedre.
Si G és un grup i X és un conjunt, llavors hom pot definir una acció de grup com un homomorfisme de grups h de G al grup simètric sobre X. L'acció assigna una permutació de X a cada element de grup, de tal manera que la permutació de X assignada a:
- l'element identitat de G és la transformació identitat de X;
- un producte gk de dos elements de G és la composició de les permutacions assignades a g i k.
L'abstracció que donen les accions de grups és molt potent, perquè permet aplicar idees geomètriques a altres objectes més abstractes. Molts objectes matemàtics tenen accions de grups associades de manera natural. En particular, els grups poden actuar sobre altres grups, o fins i tot un grup pot actuar sobre ell mateix. A causa d'aquesta generalitat, la teoria d'accions de grup conté diversos teoremes d'ampli abast, com el teorema de l'estabilitzador d'òrbites, que es pot utilitzar per demostrar resultats complexos en diferents àmbits.