Asímptota
From Wikipedia, the free encyclopedia
En geometria analítica, una asímptota d'una corba és una recta tal que la distància entre la corba i la recta s'aproxima a zero, quan una o les dues coordenades o tendeixen a l'infinit.[1] Algunes fonts inclouen l'exigència que la corba no pugui creuar la línia a l'infinit, però això no és habitual entre els autors moderns.[2] En alguns contexts, com la geometria algebraica, una asímptota es defineix com una línia que és tangent a una corba a l'infinit.[3][4]
La paraula «asímptota» deriva del grec ἀσύμπτωτος (asumptōtos), que significa «no caure junts»; de ἀ (negació) + σύν (junts) + πτωτός (caiguda).[5] El terme va ser introduït per Apol·loni de Perge en el seu treball sobre seccions còniques, però en contrast amb el seu significat modern, el va utilitzar per significar qualsevol línia que no talli amb la corba donada.[6]
Hi ha tres tipus d'asímptotes: asímptotes horitzontals, verticals i obliqües. Per a les corbes que dona el gràfic d'una funció ,
- una asímptota horitzontal és una línia horitzontal que la gràfica de la funció s'aproxima a quan tendeix a o . Donada una funció , existeix una asímptota horitzontal d'equació si, i només si el límit de la funció quan tendeix a l'infinit és un nombre finit :
- :, essent un valor finit.
- una asímptota vertical és una línia vertical a les quals la funció creix sense límit. Donada una funció , existeix una asímptota vertical d'equació si, i només si el límit de la funció quan tendeix a és infinit (positiu o negatiu):
- :
- :
- una asímptota obliqua és una línia que té un pendent que no és zero sinó que és finit, de manera que la gràfica de la funció s'apropa a la mateixa manera quan tendeix a o . Les asímptotes obliqües són rectes d'equació on[7]
- :
- :
Més generalment, una corba és una asímptota curvilínia d'una altra (a diferència d'una asímptota lineal) si la distància entre les dues corbes tendeix a zero quan tendeixen a l'infinit, tot i que el terme asímptota per si mateix sol estar reservat per asímptotes lineals.
Les asíntotes transmeten informació sobre el comportament de les corbes al llarg del seu domini, i la determinació de les asímptotes d'una funció és un pas important en el estudi del seu gràfic.[8] L'estudi de les asímptotes de funcions, interpretat en sentit ampli, forma part de l'estudi de l'anàlisi asimptòtica.