From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, específicament en topologia, l'interior d'un subconjunt S de punts d'un espai topològic X està format per tots els punts de S que no pertanyen a la frontera de S. Els punts de l'interior de S es denominen punts interiors de S.
L'interior de S és el complementari de la clausura del complementari de S. En aquest sentit, l'interior i la clausura són nocions duals.
L'exterior d'un conjunt és l'interior del complementari, o equivalentment el complementari de la clausura. Està format pels punts que no pertanyen ni al conjunt ni a la frontera. L'interior, la frontera i l'exterior d'un subconjunt formen una partició de tot l'espai en tres blocs (o menys quan un o més d'aquests són buits). L'interior i l'exterior són sempre oberts mentre que la frontera és sempre tancada. Els conjunts amb interior buit han sigut anomenats conjunts frontera.[1]
Si S és un subconjunt de l'espai euclidià, llavors x és un punt interior de S si existeix una bola oberta centrada en x que estigui continguda completament a S.
Aquesta definició es generalitza a qualsevol subconjunt S d'un espai mètric X amb mètrica d: x és un punt interior de S si existeix r > 0 tal que y pertany a S sempre que la distància d(x, y) < r.
Aquesta definició es generalitza a espais topològics canviant «bola oberta» per «conjunt obert». Sigui S un subconjunt d'un espai topològic X. Llavors, x és un punt interior de S si x pertany a un subconjunt obert de S. Equivalentment, x és un punt interior de S si existeix un entorn de x que estigui contingut a S.
L'interior d'un conjunt S és el conjunt de tots els punts interiors de S. L'interior de S s'escriu int(S), Int(S) o So. L'interior d'un conjunt té les propietats següents.
De vegades es pren la segona o la tercera propietat de més amunt com a definició de l'interior topològic.
Aquestes propietats també es satisfan si es reemplacen el termes "interior", "subconjunt", "unió", "contingut a", "més gran" i "obert" per "clausura", "superconjunt", "intersecció", "que conté", "més petit" i "tancat", respectivament. Per saber-ne més, vegeu la secció Operador d'interior més avall.
En el conjunt de nombres reals es poden utilitzar topologies diferents a l'estàndard.
Aquests exemples mostren que l'interior d'un conjunt depèn de la topologia de l'espai subjacent. Els dos últims exemples són per tipus concrets de topologies.
L'operador d'interior o és dual a l'operador clausura —, en el sentit que
i també
on X és l'espai topològic que conté S, i la barra obliqua inversa denota la diferència de conjunts.
Per tant, la teoria abstracta d'operadors de clausura i els axiomes de clausura de Kuratowski es poden traduir fàcilment al llenguatge dels operadors d'interior, canviant els conjunts pels seus complementaris.
L'exterior d'un subconjunt S d'un espai topològic X, escrit ext(S) o Ext(S), és l'interior int(X \ S) del complementari. Alternativament, pot definir-se com a X \ S—, el complementari de la clausura de S. Moltes propietats es dedueixen directament a partir de les de l'operador d'interior, com les següents.
A diferència de l'operador d'interior, ext no és idempotent, però es compleix que:
Dues figures a i b són anomenades d'interior disjunt si la intersecció dels seus interiors és buida, és a dir, si els seus interiors són disjunts. Les figures amb interiors disjunts poden intersecar-se (tenir punts comuns) a la frontera.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.