From Wikipedia, the free encyclopedia
En àlgebra lineal, el polinomi característic d'una matriu quadrada és un polinomi que és invariant sota la semblança de la matriu i té els valors propis com a arrels. Té el determinant i la traça de la matriu entre els seus coeficients.
El polinomi característic d'un endomorfisme d'un espai vectorial de dimensions finites és el polinomi característic de la matriu d'aquest endomorfisme sobre qualsevol base (és a dir, el polinomi característic no depèn de l'elecció d'una base). L'equació característica, també coneguda com a equació determinant,[1][2][3] és l'equació que s'obté en equiparar el polinomi característic a zero.
En la teoria espectral de grafs, el polinomi característic d'un graf és el polinomi característic de la seva matriu d'adjacència.[4]
En àlgebra lineal, els valors propis i els vectors propis tenen un paper fonamental, ja que, donada una transformació lineal, un vector propi és un vector la direcció del qual no es modifica per la transformació, i el valor propi corresponent és la mesura del canvi de magnitud resultant del vector.
Més precisament, si la transformació es representa amb una matriu quadrada , un vector propi , i el valor propi corresponent , ha de satisfer l'equació: o, de manera equivalent, on és la matriu identitat, i (tot i que el vector zero compleix aquesta equació per a cada , no es considera un vector propi).
Es dedueix que la matriu ha de ser singular i el seu determinant ha de ser zero.
En altres paraules, els valors propis d' A són les arrels de que és un polinomi mònic en x de grau n si A és una matriu n×n. Aquest polinomi és el polinomi característic d' A.
Considerem una matriu de . El polinomi característic d', denotat per , és el polinomi definit per:[5] on denota la matriu identitat .
Alguns autors defineixen el polinomi característic per ser Aquest polinomi difereix del definit aquí per un signe per tant, no fa cap diferència per a propietats com tenir com a arrels els valors propis d'; tanmateix, la definició anterior sempre dona un polinomi mònic, mentre que la definició alternativa és mònic només quan és parell.
Per a calcular el polinomi característic de la matriu es calcula el determinant del següent: i es troba que és el polinomi característic d'.
Un altre exemple utilitza funcions hiperbòliques d'un angle hiperbòlic φ.
Per a la matriu el polinomi característic és
El polinomi característic d'una matriu és mònic (el seu coeficient principal és ) i el seu grau és El fet més important sobre el polinomi característic ja es va esmentar al paràgraf de motivació: els valors propis de són precisament les arrels de ((això també val per al polinomi mínim d', però el seu grau pot ser inferior a ). Tots els coeficients del polinomi característic són expressions polinòmiques a les entrades de la matriu. En particular, el seu coeficient constant és el coeficient de és 1, i el coeficient de és tr(−A) = −tr(A), on tr(A) és la traça d' (Els signes que es donen aquí corresponen a la definició formal donada a la secció anterior; per a la definició alternativa aquests serien i (−1)n – 1 tr(A) respectivament).[6]
Llavors, el polinomi característic de la matriu de ve donat per:
Utilitzant el llenguatge de l'àlgebra exterior, el polinomi característic d'una matriu de es pot expressar com: on és la traça de la -èsima potència exterior d' que té dimensió Aquesta traça es pot calcular com la suma de tots els menors principals d' de mida . L'algorisme recursiu de Fadéiev-LeVerrier calcula aquests coeficients de manera més eficient.
Quan la característica del cos dels coeficients és , cada traça es pot calcular alternativament com un únic determinant, com el de la matriu ,
El teorema de Cayley-Hamilton afirma que substituint per en el polinomi característic (interpretant les potències resultants com a potències matricials i el terme constant com , com a vegades la matriu d'identitat) dona la matriu zero. De manera informal, cada matriu compleix la seva pròpia equació característica. Aquesta afirmació equival a dir que el polinomi mínim d' divideix el polinomi característic d'.
Dues matrius semblants tenen el mateix polinomi característic. Tanmateix, el contrari no és cert en general: dues matrius amb el mateix polinomi característic no necessiten ser semblants.
La matriu i la seva transposada tenen el mateix polinomi característic. és similar a una matriu triangular si i només si el seu polinomi característic es pot factoritzar completament en factors lineals sobre (el mateix passa amb el polinomi mínim en lloc del polinomi característic). En aquest cas és similar a una matriu en la forma normal de Jordan.
Si i sòn dues matrius quadradres , llavors els polinomis característics d' i coincideixen:
Quan no és singular, aquest resultat es desprèn del fet que i són semblants:
Per al cas en què totes dues matrius ( i ) siguin singulars, la identitat desitjada és una igualtat entre polinomis en i els coeficients de les matrius. Així, per demostrar aquesta igualtat, n'hi ha prou amb demostrar que es verifica en un subconjunt obert no buit (per a la topologia habitual, o, més generalment, per a la topologia de Zariski) de l'espai de tots els coeficients. Com que les matrius no singulars formen un subconjunt tan obert de l'espai de totes les matrius, això demostra el resultat.
Més en general, si és una matriu d'ordre i és una matriu d'ordre llavors és una matriu i és una matriu , i s'obté
Per demostrar-ho, es pot suposar intercanviant, si cal, i Llavors, per vorejar a la part inferior per files de zeros, i a la dreta, per, columnes de zeros, s'obté dues matrius (i ) de de tal manera que i és igual a vorejada per files i columnes de zeros. El resultat es desprèn del cas de les matrius quadrades, comparant els polinomis característics d' i
Si és un valor propi d'una matriu quadrada amb vector propi l aleshores és un valor propi d' perquè
També es pot demostrar que les multiplicitats coincideixen, i això es generalitza a qualsevol polinomi en lloc de :[7]
Sigui una matriu quadrada i fem que sigui un polinomi. Si el polinomi característic d' es pot factoritzarllavors el polinomi característic de la matriu ve donat per
És a dir, la multiplicitat algebraica de en és igual a la suma de les multiplicitats algebraiques de en sobre de tal manera que
En particular, i
Aquest polinomi per exemple, s'avalua en una matriu senzillament com
El teorema s'aplica a matrius i polinomis sobre qualsevol cos o anell commutatiu.[8] Tanmateix, la suposició que té una factorització en factors lineals no sempre és certa, tret que la matriu estigui sobre un cos algebraicament tancat com els nombres complexos.
Aquesta demostració només s'aplica a matrius i polinomis sobre nombres complexos (o qualsevol cos tancat algebraicament).
En aquest cas, el polinomi característic de qualsevol matriu quadrada sempre es pot factoritzar com a on són els valors propis d' possiblement repetida. A més, el teorema de descomposició de Jordan garanteix que qualsevol matriu quadrada es pugui descompondre com on és una matriu invertible és triangular superior amb a la diagonal (amb cada valor propi repetit segons la seva multiplicitat algebraica). (La forma normal de Jordan té propietats més fortes, però aquestes són suficients; alternativament es pot utilitzar la descomposició de Schur, que és menys popular però una mica més fàcil de demostrar).
Sigui
llavors Per a una matriu triangular superior amb diagonal la matriu és triangular superior amb diagonal en i per tant és triangular superior amb diagonal Per tant, els valors propis de són A partir de és semblant a té els mateixos valors propis, amb les mateixes multiplicitats algebraiques.
El terme funció secular s'ha utilitzat per al que ara s'anomena polinomi característic (en alguna literatura encara s'utilitza el terme funció secular). El terme prové del fet que el polinomi característic s'utilitzava per calcular les pertorbacions seculars (a una escala de temps d'un segle, és a dir, lent en comparació amb el moviment anual) de les òrbites planetàries, segons la teoria de les oscil·lacions de Lagrange.
L'equació secular pot tenir diversos significats.
La definició anterior del polinomi característic d'una matriu amb entrades en un cos generalitza sense cap canvi en el cas quan és només un anell commutatiu[10] defineix el polinomi característic per als elements d'una àlgebra arbitrària de dimensions finites (associativa, però no necessàriament commutativa) sobre un cos i demostra les propietats estàndard del polinomi característic en aquesta generalitat.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.