Representació de grup
grup homomòrfic al grup lineal general sobre un espai vectorial / From Wikipedia, the free encyclopedia
En el camp matemàtic de la teoria de representacions, les representacions de grups descriuen grups abstractes en termes de transformacions lineals d'espais vectorials; en particular, es poden utilitzar per representar els elements del grup com a matrius, de tal manera que l'operació del grup es pot representar mitjançant la multiplicació de matrius. Les representacions de grups són importants perquè permeten reduir a termes de l'àlgebra lineal molts problemes de teoria de grups, la qual cosa fa que siguin abordables d'una manera més senzilla. També són importants en física perquè, per exemple, descriuen com afecta el grup de simetria d'un sistema físic a les solucions de les equacions que descriuen el sistema.
No s'ha de confondre amb Presentació de grup. |
Les representacions també es poden definir per altres estructures matemàtiques, com per l'àlgebra associativa, l'àlgebra de Lie i l'algebra de Hopf; en aquest article amb representacions i teoria de les representacions es fa referència únicament a les representacions dels grups.
El terme representació d'un grup també s'utilitza en un sentit més general per expressar qualsevol "descripció" d'un grup com un grup de transformacions d'un cert objecte matemàtic. Més formalment, una "representació" significa un homomorfisme del grup en el grup d'automorfismes d'un objecte. Si l'objecte és un espai vectorial, hom té una representació lineal. Alguns autors utilitzen realització per a la noció general i reserven el terme representació per al cas especial de les representacions lineals. El gruix d'aquest article descriu la teoria de les representacions lineals. Vegeu la darrera secció per a les generalitzacions.