Element neutre

L'element neutre, d'una operació, en un conjunt C, és un element ${\displaystyle e\in C}$ que operat amb qualsevol altre element a de C, no l'altera, és a dir:^[1]

${\displaystyle a*e=e*a=a}$

L'element neutre de la suma en el conjunt dels nombres reals és el 0. En el mateix conjunt, quan l'operació és la multiplicació, l'element neutre és l'1.^[2][3][4]

Definicions

Operació interna

Donat un conjunt C amb una operació interna ${\displaystyle *:C\times C\rightarrow C}$, diem que un element ${\displaystyle e\in C}$ és:

• Un element neutre per l'esquerra si ${\displaystyle \forall x:C\bullet e*x=x}$;
• Un element neutre per la dreta si ${\displaystyle \forall x:C\bullet x*e=x}$;
• Un element neutre bilateral, o simplement un element neutre, ${\displaystyle \forall x:C\bullet x*e=e*x=x}$.

Si existeix un element neutre per l'esquerra (per la dreta) direm que l'operació ${\displaystyle *}$ és unitària per l'esquerra (per la dreta), i si l'element neutre és bilateral direm simplement que és unitària.

Propietats:

1. En un conjunt poden haver-hi més d'un element neutre per l'esquerra, a condició que no hi hagi cap element neutre per la dreta, i a l'inrevés. Si hi ha elements neutres per l'esquerra i per la dreta aleshores tots els neutres són iguals entre si, i l'element neutre és únic i bilateral.
2. Tot element neutre (per l'esquerra, per la dreta, o bilateral) és idempotent.
3. Els elements neutres bilaterals són centrals (commuten amb tots els elements del conjunt).

Operació externa

Donats dos conjunts C i S, i una operació binària externa per l'esquerra ${\displaystyle *:S\times C\rightarrow C}$, direm que ${\displaystyle \epsilon \in S}$ és un element neutre per l'esquerra si ${\displaystyle \forall x:C\bullet \epsilon *x=x}$. Si existeix tal element direm que l'operació és exounitària per l'esquerra, o simplement unitària. Intercanviant la posició dels operands podem definir l'element neutre per la dreta en una operació externa per la dreta.

Exemples

Conjunt	Operació	Element neutre
nombres reals	suma	0
nombres reals	multiplicació	1
funcions d'un conjunt a si mateix	composició de funcions	funció identitat
matrius mxn	suma de matrius	matriu de zeros
matrius nxn	producte de matrius	matriu identitat
vectors	suma de vectors	vector nul
cadenes de caràcters	concatenació de cadenes	cadena buida