Localment

En topologia l'expressió localment s'utilitza per a referir-se a una propietat que s'aplica a cada punt, en una regió prou propera.^[1]

L'article o secció necessita millores de format.

Més precisament, si X és un espai topològic, aleshores aquest espai té una certa propietat localment quan, per a cada punt ${\displaystyle p\in X\,}$ i cada veïnat obert U de ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p\in X\,}$ existeix un veïnat subconjunt V^[a] de ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p\in V\subseteq U\,}$, en què es compleix aquesta propietat.^[1]

Exemples

• Un espai està connectat localment per arcs en un punt x quan cada veïnat U de x conté un veïnat V tal que, per a cada parell de punts de V, hi ha un arc contingut a V^[b] enllaçant aquests dos punts. Un espai està connectat localment per arcs si està connectat localment per arcs en tots els seus punts.^[2]

• Un espai T1 és localment compacte quan cada punt p té un veïnat V el tancament del qual és compacte.^[3]

• Un sistema de coordenades^[c] és cartesià quan ds^{2 [d]}, es representa mitjançant una forma amb coeficients constants. No sempre és possible trobar aquestes coordenades, per exemple, per a cada punt p és possible trobar un sistema de coordenades que es comporti d'aquesta manera en un veïnat de p. Aquest sistema s'anomena localment cartesià o localment geodèsic.^[4]

Notes

1. En el text de Gamelin i Greene, el veïnat V ha de ser obert, però aquesta restricció no és generalment necessària.
2. El text d'Otz Lef conté l'arc que conté U; no és incorrecte però no és la millor manera de presentar la propietat.
3. Definit en una varietat de Riemann.
4. ds² és la fórmula que representa la distància entre dos punts propers, per exemple, en la superfície d'una esfera, utilitzant coordenades esfèriques, ${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}sin^{2}\theta d\phi ^{2}\,}$.