Nombre de Cullen

En matemàtiques, un nombre de Cullen és un nombre enter positiu de la forma ${\displaystyle C_{n}=n\cdot 2^{n}+1}$^[1]

Aquests nombres van ser estudiats per primer cop pel matemàtic James Cullen l'any 1905, i són un cas particular dels nombres de Proth.

Nombres primers de Cullen

Un nombre primer de Cullen és un nombre de Cullen que és, a la vegada primer.

Es poden consultar els primers nombres de Cullen a la seqüència OEIS A002064

Es creu que els nombres primers de Cullen són infinits, però encara no ha estat demostrat. Tampoc se sap si existeix un nombre primer p tal que C_p sigui també primer.

A data d'agost de 2009, el nombre primer més gran conegut és el ${\displaystyle 6679881\times 2^{6679881}+1}$. És un nombre megaprimer (un nombre primer amb més d'un milió de xifres) que té 2.010.852 xifres i va ser descobert per un usuari de PrimeGrid del Japó.^[2]

Generalització

Un nombre generalitzat de Cullen és aquell de la forma n · bⁿ + 1 on n + 2 > b. Si un nombre d'aquests és alhora primer, és anomenat primer generalitzat de Cullen.

Els nombres n als quals C_n és primer són a l'OEIS A005849

A data de febrer de 2012, el primer generalitzat de Cullen més gran conegut és el ${\displaystyle 427194\times 113^{427194}+1}$, de 877.069 xifres, i va ser descobert per un participant de PrimeGrid dels Estats Units.^[3]