Bernoulliho polynom

Bernoulliho polynomy je v matematice posloupnost polynomů pojmenovaných po Jacobu Bernoullim, které kombinují Bernoulliho čísla a binomické koeficienty. Používají se pro rozvoj funkcí na řady a s Eulerovým–Maclaurinovým vzorcem.

Bernoulliho polynomy se objevují při studiu mnoha speciálních funkcí, např. Riemannovy funkce zeta a Hurwitzovy funkce zeta. Tvoří Appellovu posloupnost (tj. Shefferovu posloupnost pro operátor obyčejné derivace). U Bernoulliho polynomů počet průsečíků s osou x v jednotkovém intervalu neroste se stupněm polynomu. V limitě se blíží funkcím sinus a kosinus (jsou-li vhodným způsobem zvětšeny).

Bernoulliho polynomy

Podobnou množinou polynomů založených na vytvořující funkci, je rodina Eulerových polynomů.

Reprezentace

Bernoulliho polynomy B_n lze definovat mnoha různými způsoby, jedním z nich je použitím vytvořující funkce.

Vytvořující funkce

Vytvořující funkce pro Bernoulliho polynomy je

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Vytvořující funkce pro Eulerovy polynomy je

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.}$

Explicitní vzorec

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}$

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.}$

pro n ≥ 0, kde B_k jsou Bernoulliho čísla, a E_k jsou Eulerova čísla.

Reprezentace diferenciálním operátorem

Bernoulliho polynomy lze také vyjádřit vztahem

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$

kde D = d/dx je operátor derivace podle x a výraz pod zlomkovou čarou je vyjádřen jako rozvoj formální mocninné řady. Odtud plyne, že

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.}$

srovnejte s integrály níže. Stejným způsbem lze zapsat Eulerovy polynomy:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}$

Reprezentace integrálním operátorem

Bernoulliho polynomy jsou také jednoznačné polynomy určené vztahem

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$

Integrální transformace

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$

na polynomy f dává

${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}$

což lze použít pro získání inverzního vzorce uvedeného níže.

Jiný explicitní vzorec

Explicitní vzorec pro Bernoulliho polynomy je

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}$

Což je řada podobná Hurwitzově funkci zeta v komplexní rovině. Skutečně existuje vztah

${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)}$

kde ζ(s, q) je Hurwitzova funkce zeta. Ta zobecňuje Bernoulliho polynomy na jiné než celé hodnoty n.

Vnitřní součet může být chápán jako n-tá dopředná diference výrazu x^m, čili

${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}$

kde Δ je dopředný diferenční operátor. Je tedy možné psát

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.}$

Tento vzorec může být odvozen z identity uvedené výše: Protože pro dopředný diferenční operátor Δ platí

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$

kde D je derivace podle x, z Mercatorovy řady vyplývá:

${\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}.}$

Pokud je aplikována na polynom m-tého stupně, jako např. x^m, můžeme nechat n jít od 0 pouze do m.

Integrální reprezentaci Bernoulliho polynomů popisuje Nörlundův-Riceův integrál, což vyplývá z vyjádření pomocí konečného rozdílu.

Explicitní vzorec pro Eulerovy polynomy popisuje vztah

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}\,.}$

Výše uvedený vzorec lze odvodit obdobně, pomocí faktu, že

${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}-{\frac {\Delta }{2}}{\Bigr )}^{n}.}$

Součty p-tých mocnin

Podrobnější informace naleznete v článku Faulhaberův vzorec.

Užitím výše uvedené integrální reprezentace ${\displaystyle x^{n}}$ nebo identity ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$ dostáváme

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$

(pokud předpokládáme, že 0⁰ = 1).

Bernoulliho a Eulerova čísla

Bernoulliho čísla jsou hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 0: ${\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(0).}$

Tato definice dává ${\displaystyle \textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}}$ pro ${\displaystyle \textstyle n=0,1,2,\ldots }$.

Alternativní konvence definuje Bernoulliho čísla jako hodnoty Bernulliho polynomů v bodě 1: ${\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(1).}$

Tyto dvě konvence se liší pouze pro ${\displaystyle n=1}$, protože ${\displaystyle B_{1}(1)={\tfrac {1}{2}}=-B_{1}(0)}$.

Eulerova čísla jsou dána vztahem ${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Explicitní výrazy pro nízký stupňů

Několik prvních Bernoulliho polynomů je:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}}$

Několik prvních Eulerových polynomů je:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}}$

Maxima a minima

Pro vyšší n se množství změn v B_n(x) mezi x = 0 a x = 1 zvětšuje. Například

${\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}}$

což ukazuje, že hodnota v x = 0 (a v x = 1) je −3617/510 ≈ −7.09, zatímco pro x = 1/2, hodnota je 118518239/3342336 ≈ +7.09. D.H. Lehmer ukázal, že pro maximální hodnotu B_n(x) mezi 0 a 1 platí^[1]

${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$

pokud n není 2 modulo 4, kdy je

${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}}$

(kde ${\displaystyle \zeta (x)}$ je Riemannova funkce zeta). Pro minimální hodnotu platí

${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$

pokud n není 0 modulo 4, kdy je

${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}.}$

Tyto meze jsou docela blízko skutečným maximům a minimům. Lehmer udává i přesnější meze.

Diference a derivace

Bernoulliho a Eulerovy polynomy vyhovují mnoha vztahům z umbralního počtu:

${\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},}$

${\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).}$

(Δ je dopředný diferenční operátor). Také,

${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$

Tyto posloupnosti polynomů jsou Appellovými posloupnostmi:

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),}$

${\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}$

Převody

${\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}$

${\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}$

Tyto identity jsou také ekvivalentní s tvrzením, že obě posloupnosti polynomů jsou Appellovou posloupností. (Jiným příkladem jsou Hermitovy polynomy.)

Symetrie

${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,}$

${\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}$

${\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}}$

${\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}$

${\displaystyle B_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ z multiplikačních vět níže.}}}$

Zhi-Wei Sun a Hao Pan ukázali překvapivý vztah symetrie: Pokud r + s + t = n a x + y + z = 1, pak^[2]

${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$

kde

${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$

Fourierova řada

Fourierova řada Bernoulliho polynomů je také Dirichletova řada, vzhledem k rozvoji

${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$

Všimněte si, že pro velké n tento výraz konverguje ke vhodně škalovaným trigonometrickým funkcím.

To je speciální případ analogického tvaru Hurwitzovy funkce zeta

${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$

Tento rozvoj je platný pouze pro 0 ≤ x ≤ 1, když n ≥ 2 a je pro 0 < x < 1, když n = 1.

Je možné také spočítat Fourierovu řadu pro Eulerovy polynomy. Pokud definujeme funkce

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}$

a

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}$

pro ${\displaystyle \nu >1}$, pak Eulerův polynom má Fourierovu řadu

${\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)}$

a

${\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).}$

Všimněte si, že ${\displaystyle C_{\nu }}$ je lichá a ${\displaystyle S_{\nu }}$ sudá:

${\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)}$

a

${\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).}$

Jsou příbuzné s Legendrovou funkcí chí ${\displaystyle \chi _{\nu }}$ jako

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})}$

a

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Inverze

Bernoulliho a Eulerovy polynomy je možné invertovat pro vyjádření monomů pomocí polynomů.

Konkrétně z výše uvedené části o integrálních operátorech zjevně plyne, že

${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$

a

${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$

Vztah s klesajícím faktoriálem

Bernoulliho polynomy je možné vyjádřit rozvojem na členy klesajícího faktoriálu ${\displaystyle (x)_{k}}$ jako

${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$

kde ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ a

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$

označuje Stirlingovo číslo druhého druhu. Výše uvedený vztah může být invertován, aby se klesající faktoriál vyjadřil pomocí Bernoulliho polynomů:

${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$

kde

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$

označuje Stirlingovo číslo prvního druhu.

Věty o násobení

Věty násobení objevil Joseph Ludwig Raabe v roce 1851:

Pro přirozené číslo m≥1,

${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}$

${\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=1,3,\dots }$

${\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots }$

Integrály

Dva určité integrály, které ukazují vztah Bernoulliho a Eulerových polynomů k Bernoulliho a Eulerovým číslům jsou:^[3]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!\;n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!\;n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Další integrální vzorec je^[4]

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}\left(x+y\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=n!\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }{\frac {(-1)^{k-1}}{\pi ^{2k}}}\left(2-2^{-2k}\right)\zeta (2k+1){\frac {y^{n+1-2k}}{(n+1-2k)!}}}$

se speciálním případem pro ${\displaystyle y=0}$

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n-1}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}(2n-1)!}{\pi ^{2n}}}\left(2-2^{-2n}\right)\zeta (2n+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{2n-1}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx={\frac {(-1)^{n-1}}{\pi ^{2n}}}{\frac {2^{2n-2}}{(2n-1)!}}\sum _{k=1}^{n}(2^{2k+1}-1)\zeta (2k+1)\zeta (2n-2k)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{2n}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=\int _{0}^{1}B_{2n}\left(x\right)\log(\operatorname {tg} {\frac {\pi }{2}}x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}{{{B}_{2n-1}}\left(x\right)\operatorname {cotg} \left(\pi x\right)dx}={\frac {2\left(2n-1\right)!}{{{\left(-1\right)}^{n-1}}{{\left(2\pi \right)}^{2n-1}}}}\zeta \left(2n-1\right)}$

Periodické Bernoulliho polynomy

Periodický Bernoulliho polynom P_n(x) je Bernoulliho polynom vyčíslený v desetinné části argumentu x. Tyto funkce se objevují jako zbytkový člen v Eulerově–Maclaurinově vzorci, který vyjadřuje vztah mezi sumami a integrály. První polynom je pilovitá funkce.

Tyto funkce ve skutečnosti nejsou polynomy a správně by se měly nazývat periodické Bernoulliho funkce, přičemž P₀(x) dokonce ani není funkce, je to derivace pilovité funkce, která tvoří Diracův hřeben.

Zajímavé jsou následující vlastnosti, platné pro všechna ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ je spojitá pro všechna }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ existuje a je spojitá pro }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}}$