Darbouxův vzorec

Darbouxův vzorec je v matematické analýze vzorec, který objevil Jean Gaston Darboux^[1] pro sumaci nekonečné řady pomocí integrálů nebo vyhodnocování integrálů pomocí nekonečné řady. Je zobecněním Eulerova–Maclaurinova sumačního vzorce na komplexní rovinu. Ten se používá pro podobné účely a odvozuje se podobným způsobem (opakovanou integrací per partes určité volby integrálu). Darbouxův vzorec lze použít pro odvození Taylorovy řady v infinitezimálním počtu.

Tvrzení

Pokud φ(t) je polynom stupně n, a f analytická funkce, pak

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}(z-a)^{m}\left[\varphi ^{(n-m)}(1)f^{(m)}(z)-\varphi ^{(n-m)}(0)f^{(m)}(a)\right]\\={}&(-1)^{n}(z-a)^{n+1}\int _{0}^{1}\varphi (t)f^{(n+1)}\left[a+t(z-a)\right]\,dt.\end{aligned}}}$

Vzorec lze dokázat opakovanou integrací per partes.

Speciální případy

Pokud se jako φ v Darbouxově vzorci použije Bernoulliho polynom, vznikne Eulerův–Maclaurinův sumační vzorec. Jestliže se jako φ použije (t − 1)^n, vyjde vzorec pro Taylorovu řadu.