Forsing

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model ${\displaystyle M}$ teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin ${\displaystyle N}$ rozšiřující ${\displaystyle M}$, tj. ${\displaystyle M\subseteq N}$. V této situaci mohou existovat prvky modelu ${\displaystyle N}$, které nejsou prvky ${\displaystyle M}$, ale jsou podmnožinami ${\displaystyle M}$, tj. taková ${\displaystyle x}$, že ${\displaystyle x\in N\setminus M}$ a ${\displaystyle x\subseteq M}$ (taková x jsou pak „polomnožinami“ v ${\displaystyle M}$). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model ${\displaystyle M[G]}$ ležící mezi ${\displaystyle M}$ a ${\displaystyle N}$, tj. takový, který obsahuje všechny prvky ${\displaystyle M}$ a navíc i některé podmnožiny ${\displaystyle M}$, které v ${\displaystyle M}$ neleží, ale leží v ${\displaystyle N}$.

Myšlenku konstrukce modelu ${\displaystyle M[G]}$ lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny ${\displaystyle M}$, které v novém modelu ${\displaystyle M[G]}$ mají být, lze ohodnotit číslem ${\displaystyle 1}$ a zbylé množiny číslem ${\displaystyle 0}$. Protože však předem nevíme, které množiny musí v ${\displaystyle M[G]}$ být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry ${\displaystyle B\in M}$. Každé podmnožině ${\displaystyle M}$ pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota ${\displaystyle b\in B}$, která určuje „míru“ jejího náležení do ${\displaystyle M[G]}$. Ty množiny, které do ${\displaystyle M[G]}$ nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru ${\displaystyle G\in N}$ na ${\displaystyle B}$. Přesněji ${\displaystyle x\in M[G]}$ právě tehdy když je booleovská hodnota ${\displaystyle x}$ v ${\displaystyle G}$.

Pozadí

Zermelova–Fraenkelova axiomatizace teorie množin (značená ZF) byla vytvořena jako pokus reprezentovat matematickou pravdu (to, co opravdu „platí“) ve všech disciplínách matematiky. Ukázalo se, že bez AC (axiom výběru) v ní nelze dokázat některé důležité věty i evidentně pravdivá tvrzení. Zároveň však AC vedl k řadě paradoxů a potíží: nekonstruktivní důkazy, Banachův–Tarského paradox atd.

Matematiky proto počátkem 20. století rozdělovala otázka, zda AC přijmout, tj. pokládat za pravdu vše, co z něho plyne. Zkoumali, zda z axiomů ZF je AC dokazatelný (tj. „ZF + negace AC“ je sporná) nebo je dokazatelná jeho negace, tj. je sporná teorie „ZF+AC“, zvaná též „ZFC“. Ve 30. letech Kurt Gödel dokázal pomocí konstruovatelných množin, že ZFC je relativně bezesporná vůči ZF – tj. je bezesporná, pokud je bezesporná ZF (což je nemožné ověřit vzhledem k druhé Gödelově větě o neúplnosti).

Otázka, zda ZF s negací AC je bezesporná (relativně vůči ZF), odolávala úsilí matematiků mnohem déle, protože chyběly prostředky, jak tvořit nové modely. Tuto potřebu forsing naplnil mj. tím, že

• Prokázal relativní bezespornost teorie „ZF + non AC“ a teorie „ZFC + non GC“.
• Flexibilita forsingu dává značnou míru kontroly nad vlastností kontinua a dalších kardinálů. Je možné (je-li ZF bezesporná) forsingem vytvořit model, ve kterém prvním kardinálem, na němž GCH (zobecněná hypotéza kontinua) neplatí, je ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (Alef 0), tedy neplatí ani samotná hypotéza kontinua. Lze vytvořit model, kde je jím ${\displaystyle \aleph _{1}}$, ${\displaystyle \aleph _{2}}$ atd.; model, kde je jím ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$, ${\displaystyle \aleph _{\omega +1}}$ atd. (Teorie je bezesporná, právě když má nějaký model - Gödelova věta o úplnosti predikátové logiky.)
• Lze vytvořit modely, kde je AC porušen konkrétním způsobem, tj. v nichž neplatí některé konkrétní důsledky AC, jako např. Banachův–Tarského paradox nebo existence lebesgueovsky neměřitelné množiny atd.

Konstrukce generických rozšíření

Pro sestrojení rozšíření ${\displaystyle M[G]}$ k danému modelu ${\displaystyle M}$ se používá technika booleovských jmen.

Odkazy

Související články

• Paul Cohen
• Hypotéza kontinua
• Model (logika)

Externí odkazy

• Timothy Y. Chow: A beginner’s guide to forcing (PDF, PostScript; anglicky), oai:arXiv.org:0712.1320

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
• Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

Literatura

• BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.]: Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X.
• KUNEN, Kenneth. Set theory: An Introduction to Independence Proofs. [s.l.]: North-Holland, 1980. Dostupné online. ISBN 0-444-85401-0.