Homologická algebra

Homologická algebra je obor matematiky, který studuje homologii v obecném algebraickém prostředí. Jedná se o relativně mladou disciplínu, jejíž počátky lze vysledovat k výzkumům v kombinatorické topologii (předchůdci algebraické topologie) a abstraktní algebře (teorii modulů a syzygií) na konci 19. století, především Henriho Poincaré a Davida Hilberta.

Diagram použitý v hadím lemmatu, základním výsledku v homologické algebře.

Vývoj homologické algebry byl úzce spjat se vznikem teorie kategorií. Z většiny homologická algebra zkoumá homologické funktory a složité algebraické struktury, s nimiž souvisí. Jedním z velmi užitečných a poměrně rozšířených konceptů v matematice jsou řetězcové komplexy, které se dají studovat přes jejich homologii a kohomologii. Homologická algebra poskytuje prostředky k získávání informací obsažených v těchto komplexech a prezentuje je ve formě homologických invariant okruhů, modulů, topologických prostorů a dalších „hmatatelných“ matematických objektů. Mocným nástrojem s tímto účelem jsou spektrální sekvence.

Od samého počátku hrála homologická algebra obrovskou roli v algebraické topologii. Její vliv se postupně rozšířil a v současnosti zahrnuje komutativní algebru, algebraickou geometrii, algebraickou teorii čísel, teorii reprezentace, matematickou fyziku, algebry operátorů, komplexní analýzu a teorii parciálních diferenciálních rovnic. K-teorie je nezávislá disciplína, která čerpá z metod homologické algebry stejně jako nekomutativní geometrie Alaina Connese.

Historie homologické algebry

Homologická algebra začala být zkoumána ve své nejzákladnější formě v 19. století jako odvětví topologie, ale ve 40. letech se stala nezávislým odvětvím jakožto studium objektů jako například Ext funktor a Tor funktor, mimo ostatní. ^[1]

Řetězcové komplexy a homologie

Koncept řetězcových komplexů je v homologické algebře klíčový. Abstraktní řetězcový komplex je posloupnost ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$abelovských grup spojených homomorfismy s tou vlastností, že složení dvou po sobě jdoucích zobrazení je nulové zobrazení:

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

Prvky z C_n se nazývají n-řetězce a homomorfismy d_n se nazývají mezní zobrazení nebo diferenciály. Řetězcové grupy C_n mohou mít další strukturu; mohou to být například vektorové prostory nebo moduly nad daným okruhem R. Diferenciály musí tuto nadrámcovou strukturu zachovávat; musí to pak být například lineární mapy nebo homomorfismy R-modulů. Kvůli pohodlí notace omezme pozornost na abelovské grupy (přesněji na kategorii Ab abelovských grup); slavná věta Barryho Mitchella dokazuje, že všechny výsledky se dají zobecnit na jakoukoli abelovskou kategorii. Každý řetězcový komplex definuje dvě další sekvence abelovských grup: cykly ${\displaystyle Z_{n}=\ker {d_{n}}}$ a meze ${\displaystyle B_{n}=\operatorname {im} d_{n+1},}$ kde ${\displaystyle \ker {d}}$ a ${\displaystyle \operatorname {im} d}$ označují jádro a obraz d. Vzhledem k tomu, že složení dvou po sobě jdoucích mezních map je nulové, jsou do sebe tyto množiny vloženy:

${\displaystyle B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.}$

Podgrupy abelovských grup jsou automaticky normální, a proto můžeme definovat n-tou homologickou grupu H_n(C) jako podílovou grupu n-cyklů podle n-mezí:

${\displaystyle H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}={\frac {\ker {d_{n}}}{\operatorname {im} d_{n+1}}}.}$

Řetězcový komplex se nazývá acyklický nebo exaktní posloupnost, pokud jsou všechny jeho homologické grupy nulové.

Řetězcové komplexy hojně vznikají v algebře a algebraické topologii. Například jestliže X je topologický prostor, pak jsou singulární řetězce C_n(X) formální lineární kombinace spojitých map ze standardního n-simplexu do X; pokud je K simpliciální komplex, potom jsou simpliciální řetězce C_n(K) formální lineární kombinace n-simplexů z K; pokud ${\displaystyle A=F/R}$ je prezentace abelovské grupy A podle generátorů a relací, kde F je volná abelovská grupa překlenutá generátory a R je podgrupa relací, pak lze pomocí C₁(A) = R, C₀(A) = F, a C_n(A) = 0 pro všechna zbylá n definovat posloupnost abelovských grup. Ve všech těchto případech existují přirozené diferenciály d_n, které z C_n dělají řetězcový komplex, jehož homologie odráží strukturu topologického prostoru X, simpliciálního komplexu K nebo abelovské grupy A. V případě topologických prostorů se dostáváme k pojmu singulární homologie, která hraje zásadní roli při zkoumání vlastností těchto prostorů, například variet.

Na filozofické úrovni nás homologická algebra učí, že jisté řetězcové komplexy přidružené k algebraickým nebo geometrickým objektům (topologickým prostorům, simpliciálním komplexům, R-modulům) o nich obsahují množství cenných algebraických informací, přičemž právě homologie je ten nejsnáze dostupný nástroj. Na technické úrovni poskytuje homologická algebra nástroje pro manipulaci s komplexy a získávání těchto informací. Zde jsou dva obecné příklady.

• Dva objekty X a Y jsou propojeny zobrazením f mezi nimi. Homologická algebra studuje vztah, způsobený mapou f, mezi řetězcovými komplexy spojenými s X a Y a jejich homologií. Toto je zobecněno na případ několika objektů a zobrazení, která je spojují. Homologická algebra studuje v jazyce teorie kategorií funktorové vlastnosti různých konstrukcí řetězcových komplexů a homologií těchto komplexů.
• Objekt X připouští více popisů (například jako topologický prostor nebo jako simpliciální komplex) nebo je komplex ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ konstruován s použitím nějaké 'prezentace' X, která vyžaduje nekanonické volby. Je důležité znát vliv změny popisu X na řetězcové komplexy spojené s X. Ten komplex a jeho homologie ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$ jsou typicky vzhledem k prezentaci funktoriální, avšak homologie (ačkoli ne komplex sám) je ve skutečnosti nezávislá na zvolené prezentaci, je to invarianta prostoru X.

Standardní nástroje

Exaktní posloupnosti

V kontextu teorie grup, posloupnosti

${\displaystyle G_{0}\,{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}\,G_{1}\,{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}\,G_{2}\,{\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}\,\cdots \,{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}\,G_{n}}$

grup a grupových homomorfismů se říká exaktní, jestliže obraz (nebo obor hodnot) každého homomorfismu je shodný s jádrem následujícího:

${\displaystyle \operatorname {im} f_{k}=\ker {f_{k+1}}.}$

Všimněme si, že taková posloupnost grup a homomorfismů může být konečná i nekonečná.

Podobná definice může být použita i pro některé jiné algebraické struktury. Například lze uvažovat exaktní posloupnost vektorových prostorů a lineárních map nebo modulů a homomorfismů modulů. Obecněji řečeno, koncept exaktní posloupnosti má smysl v každé kategorii s jádry a kojádry.

Krátká exaktní posloupnost

Nejběžnějším typem exaktní posloupnost je krátká exaktní posloupnost. To je exaktní posloupnost podoby

${\displaystyle A\,{\overset {f}{\hookrightarrow }}\,B\,{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\,C,}$

kde ƒ je monomorfismus a g je epimorfismus. V tomto případě, A je podobjekt B, a odpovídající podíl je izomorfní k C:

${\displaystyle C\cong {\frac {B}{\operatorname {im} f}}}$

(kde ${\displaystyle \operatorname {im} f=f(A)}$).

Krátkou exaktní posloupnost abelovských grup lze také zapsat jako exaktní sekvenci s pěti členy:

${\displaystyle 0\,\longrightarrow \,A\,{\overset {f}{\longrightarrow }}\,B\,{\overset {g}{\longrightarrow }}\,C\,\longrightarrow \,0,}$

kde 0 představuje nulový objekt, jako je triviální grupa nebo 0rozměrný vektorový prostor. Umístění těchto 0 nutí ƒ být monomorfismem a g epimorfismem (viz níže).

Dlouhá exaktní posloupnost

Dlouhá exaktní posloupnost je exaktní posloupnost indexovaná přirozenými čísly.

Lemma pěti

Uvažujme následující komutativní diagram v jakékoliv abelovské kategorii (jako je kategorie abelovských grup nebo kategorie vektorových prostorů nad daným polem) nebo v kategorii grup.

Lemma pěti říká, že pokud jsou řádky exaktní, m a p jsou izomorfismy, l je epimorfismus a q je monomorfismus, pak je n také izomorfismus.

Hadí lemma

V abelovské kategorii (jako je kategorie abelovských grup nebo kategorie vektorových prostorů nad daným polem) uvažujme komutativní diagram:

kde řádky jsou exaktní posloupnosti a 0 je nulový objekt. Pak existuje exaktní posloupnost vztahující jádra a kojádra z a, b a c:

${\displaystyle \ker {a}\,\rightarrow \,\ker {b}\,\rightarrow \,\ker {c}\,{\overset {d}{\rightarrow }}\,\operatorname {coker} a\,\rightarrow \,\operatorname {coker} b\,\rightarrow \,\operatorname {coker} c}$

Pokud je navíc f monomorfismus, pak je i ${\displaystyle \ker {a}\rightarrow \ker {b}}$ monomorfismus, a pokud je g epimorfismus, pak je taktéž i ${\displaystyle \operatorname {coker} b\rightarrow \operatorname {coker} c.}$

Abelovské kategorie

V matematice je abelova kategorie taková kategorie, v níž se dají sčítat morfismy i objekty a v níž existují jádra a kojádra s žádoucími vlastnostmi. Motivačním příkladem abelovské kategorie je kategorie abelovských grup Ab. Teorie vznikla v předběžném pokusu sjednotit několik kohomologických teorií Alexandera Grothendiecka. Abelovské kategorie jsou velmi stabilní kategorie, například jsou regulární a splňují hadí lemma. Třída abelovských kategorií je uzavřena pod několika kategorickými konstrukcemi, například kategorie řetězcových komplexů z abelovské kategorie nebo kategorie funktorů z malé kategorie do abelovské kategorie je také abelovská. Tyto vlastnosti je v homologické algebře i mimo ni nevyhnutelně podbízejí; tato teorie má hlavní aplikace v algebraické geometrii, kohomologii a čisté teorii kategorií. Abelovské kategorie jsou pojmenovány po Nielsi Henriku Abelovi.

Přesněji, kategorie je abelovská, právě když

• má nulový objekt
• má všechny binární součiny a binární kosoučiny
• má všechna jádra a kojádra
• všechny monomorfismy a epimorfismy jsou normální

Ext funktor

Nechť R je okruh a nechť Mod_R je kategorie modulů nad R. Nechť B je v Mod_R a dejme T(B) = Hom_R(A, B), pro pevně dané A v Mod_R. Toto je levý exaktní funktor, a tak má pravé odvozené funktory RⁿT. Funktor Ext je definován podle

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).}$

To lze vypočítat tak, že pro jakýkoliv injektivní rozklad:

${\displaystyle 0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,}$

se spočte:

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .}$

Poté je (RⁿT)(B) homologie tohoto komplexu. Všimněme si, že Hom_R(A, B) není v tom komplexu zahrnut.

Alternativně jej lze definovat pomocí funktoru G(A) = Hom_R(A, B). Pro pevně daný modul B to je kontravariantní levý exaktní funktor, a tedy dostaneme pravé odvozené funktory RⁿG a můžeme definovat:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).}$

To lze vypočítat výběrem libovolného projektivního rozkladu:

${\displaystyle \cdots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,}$

k němuž duálně spočteme:

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .}$

Poté je (RⁿG)(A) homologie tohoto komplexu. Znovu si všimněme, že Hom_R(A, B) je vynechán.

Tyto dvě konstrukce, jak se ukáže, podávají izomorfní výsledky, a proto mohou být obě k výpočtu Ext funktoru použity.

Tor funktor

Předpokládejme, že R je okruh, a označme R-Mod kategorii levých R-modulů a Mod-R kategorii pravých R-modulů (pokud je R komutativní, obě kategorie splývají). Uvažujme pevně daný modul B v R-Mod. Pro A v Mod-R nastavme T(A) = A ⊗_R B. Pak T je pravý exaktní funktor z Mod-R do kategorie abelovských grup Ab (v případě, že je R komutativní, jedná se o pravý exaktní funktor z Mod-R do Mod-R) a jsou pro něj definovány jeho levé odvozené funktory L_nT. Stanovujeme:

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A),}$

tj. vezmeme projektivní rozklad:

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0}$

a odstraníme člen A a roztenzorujeme ten projektivní rozklad spolu s B, abychom získali komplex:

${\displaystyle \cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0,}$

u nějž určíme homologii (všimněme si, že A ⊗_R B zde opět nefiguruje; poslední šipka je nulové zobrazení).

Spektrální posloupnost

Mějme abelovskou kategorii, jako je například kategorie modulů nad okruhem. Spektrální posloupnost je volba nezáporného celého čísla r₀ a souboru tří sekvencí:

1. pro všechna celá čísla r ≥ r₀ máme objekt E_r - nazvaný list (jako list papír) nebo někdy také strana nebo člen
2. endomorfismy d_r  : E_r → E_r splňující d_r o d_r = 0, nazývané mezní mapy nebo diferenciály
3. isomorfismy E_r+1 spolu s H(E_r), což je homologie E_r vzhledem k d_r

List E₂ kohomologické spektrální sekvence.

Tyto dvojsložkové spektrální posloupnosti mají obrovské množství dat na sledování, ale existuje obecná vizualizační technika, která ukazuje strukturu spektrální sekvence jasněji. Máme tři indexy: r, p a q. U každého r si představme, že máme list milimetrového papíru. Na tomto listu budeme brát p jako horizontální směr a q jako vertikální směr. V každém mřížovém bodě máme objekt ${\displaystyle E_{r}^{p,q}.}$

Je velmi běžné brát n = p + q jakožto další přirozený index ve spektrální sekvenci. n vede diagonálně, ze severozápadu k jihovýchodu, přes každý list. V homologickém případě mají diferenciály dvojstupeň (−r, r − 1), takže snižují n o jedna. V kohomologickém případě se n o jednu zvyšuje. Když je r nula, diferenciál posouvá objekty o jeden prostor dolů nebo nahoru. Podobně se chovají diferenciály na řetězcovém komplexu. Když je r jedna, diferenciál přesune objekty o jeden prostor doleva nebo doprava. Když je r dva, diferenciál pohybuje objekty stejně jako rytířův pohyb v šachu. Pro vyšší r se diferenciál chová jako zobecněný rytířský pohyb.

Odvozený funktor

Předpokládejme, že jsme dostali kovariantní levý exaktní funktor F : A → B mezi dvěma abelovskými kategoriemi A a B. Je-li 0 → A → B → C → 0 krátká exaktní posloupnost v A, pak aplikováním F získáme exaktní posloupnost 0 → F(A) → F(B) → F(C) a lze se ptát, jak v této sekvenci pokračovat vpravo, abychom vytvořili dlouhou exaktní posloupnost. Přísně vzato je tato otázka špatně postavená, protože vždy existuje mnoho různých způsobů, jak v dané exaktní sekvenci vpravo pokračovat. Ukazuje se však, že (pokud je A dostatečně „pěkná“) existuje jeden kanonický postup, jak pokračovat - určen pravými funktory odvozenými od F. Pro každé i ≥ 1 existuje funktor RⁱF : A → B a výše uvedená sekvence pokračuje takto: 0 → F(A) → F(B) → F(C) → R¹F(A) → R¹F(B) → R¹F(C) → R²F(A) → R²F(B) →... . Z toho vidíme, že F je exaktní funktor právě tehdy, když R¹F = 0; v jistém smyslu tak odvozené funktory F měří “jak daleko” je F od přesnosti.

Funktorialita

Spojitá mapa topologických prostorů dává vzniknout homomorfismu mezi jejich n-tými homologickými grupami pro všechna n. Tento základní poznatek z algebraické topologie nachází přirozené vysvětlení prostřednictvím určitých vlastností řetězcových komplexů. Protože je běžné studovat několik topologických prostorů současně, v homologické algebře se často současně zkoumá více řetězcových komplexů.

Morfismus mezi dvěma řetězcovými komplexy, ${\displaystyle F:C_{\bullet }\rightarrow D_{\bullet },}$ je rodina homomorfismů abelovských grup ${\displaystyle F_{n}:C_{n}\rightarrow D_{n},}$ které komutují s diferenciály v tom smyslu, že ${\displaystyle F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{C}\circ F_{n}}$ pro všechna n. Morfismus řetězcových komplexů dává vzniknout morfismu ${\displaystyle H_{\bullet }(F)}$ jejich homologických grup, skládajících se z homomorfismů ${\displaystyle H_{n}(F):H_{n}(C)\rightarrow H_{n}(D)}$ pro všechna n. Morfismus F se nazývá kvazi-isomorfismus, pokud dává vzniknout isomorfismu na n-té homologii pro všechna n.

Mnoho konstrukcí řetězcových komplexů vznikajících v algebře a geometrii, včetně singulární homologie, má následující vlastnost funktoriality: jestliže dva objekty X a Y jsou spojeny mapou f, pak přidružené řetězcové komplexy jsou spojeny morfismem ${\displaystyle F=C(f):C_{\bullet }(X)\rightarrow C_{\bullet }(Y)}$ a navíc složení ${\displaystyle g\circ f}$ map f : X → Y a g : Y → Z vyvolává morfismus ${\displaystyle C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\rightarrow C_{\bullet }(Z),}$ který se shoduje s kompozicí ${\displaystyle C(g)\circ C(f).}$Z toho vyplývá, že homologické grupy ${\displaystyle H_{\bullet }(C)}$ jsou také funktoriální, takže morfismy mezi algebraickými nebo topologickými objekty dávají vzniknout kompatibilním mapám mezi jejich homologií.

Následující definice vychází z typické situace v algebře a topologii. Trojice skládající se ze tří řetězcových komplexů ${\displaystyle L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }}$ a dvou morfismů mezi nimi ${\displaystyle f:L_{\bullet }\rightarrow M_{\bullet },g:M_{\bullet }\rightarrow N_{\bullet }}$ se nazývá eexaktní trojice, nebo krátká exaktní posloupnost komplexů a zapisuje se:

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,}$

pokud pro libovolné n je posloupnost

${\displaystyle 0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0}$

krátká exaktní posloupnost abelovských grup. Podle definice to znamená, že f_n je prosté, g_n je surjekce a im f_n = ker g_n. Jedna z nejzákladnějších vět homologické algebry, někdy známá jako cikcak lemma, uvádí, že v tomto případě existuje dlouhá exaktní posloupnost v homologii:

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,}$

kde homologické grupy pro L, M, N a cyklicky následují za sebou, a δ_n jsou určité homomorfismy určené podle f a g, zvané spojovací homomorfismy. Topologické projevy této věty zahrnují Mayerovu-Vietorisovu sekvenci a dlouhou exaktní posloupnost pro relativní homologii.

Základní aspekty

Teorie kohomologie byly definovány pro mnoho různých objektů, jako jsou topologické prostory, svazky, grupy, okruhy, Lieovy algebry a C*-algebry. Studium moderní algebraické geometrie by bylo téměř nemyslitelné bez svazkové kohomologie.

V homologické algebře je koncept exaktní posloupnost exaktní; mohou být použity k provádění skutečných výpočtů. Klasickým nástrojem homologické algebry je odvozený funktor; nejzákladnější příklady jsou funktory Ext a Tor.

S ohledem na různorodý soubor aplikací bylo přirozené snažit se obsáhnout všechny tyto případy jednotně. Než se tato oblast ustálila, bylo o sjednocení několik pokusů. Přibližná historie může být uvedena následovně:

• Cartan-Eilenberg: Ve své knize z roku 1956 "Homological algebra" tito autoři použili projektivní a injektivní rozklad modulů.
• Tôhoku: Přístup v oslavovaném dokumentu Alexandera Grothendiecka, který se objevil ve druhé sérii Tohoku Mathematical Journal v roce 1957, používající koncept abelovské kategorie (zahrnutí svazků abelovských grup).
• Odvozená kategorie Grothendiecka a Verdiera. Odvozené kategorie se datují k Verdierově dizertační práci z roku 1967. Jde o příklady triangulovaných kategorií používaných v řadě moderních teorií.

Tyto pak od vypočitatelnosti přešly k obecnosti.

Výpočetní perlík par excellence je spektrální posloupnost; tyto posloupnosti jsou nezbytné v postupech Cartana-Eilenberga a Tohoku, kde jsou potřebné například pro výpočet odvozených funktorů složenin dvou funktorů. Spektrální posloupnosti jsou méně důležité v přístupu pomocí odvozené kategorie, ale stále hrají roli vždy, když jsou nezbytné konkrétní výpočty.

Byly pokusy přijít s "nekomutativní" teorií, která rozšíří první kohomologii jako torzory (důležité v Galoisově kohomologii).