Laplaceova transformace

Laplaceova transformace v matematice označuje jednu ze základních integrálních transformací. Používá se k řešení některých obyčejných diferenciálních rovnic,^[1] zejména těch, jež se objevují při analýze chování elektrických obvodů, harmonických oscilátorů a optických zařízení. V technice se s ní setkáme při studiu vlastností systémů spojitě pracujících v čase, kde je protějškem Z-transformace pro diskrétní systémy.

Užitečnost Laplaceovy transformace spočívá v tom, že převádí funkce reálné proměnné na funkce komplexní proměnné způsobem, při němž se mnohé složité vztahy mezi původními funkcemi radikálně zjednoduší.

Laplaceovu transformaci odvodil roku 1812 francouzský matematik Pierre-Simon de Laplace. Již dříve (1737) však tuto transformaci použil Leonhard Euler při řešení jistých obyčejných diferenciálních rovnic.

Definice

Laplaceova transformace

Nechť je funkce ${\displaystyle f(t)}$ spojitá (nebo alespoň po částech spojitá) a definovaná na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$. Pak Laplaceova transformace ${\displaystyle L\{f(t)\}}$ funkce ${\displaystyle f(t)}$ je definována integrálním vztahem:

${\displaystyle L\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$,

kde ${\displaystyle s}$ je komplexní nezávisle proměnná. Obraz funkce ${\displaystyle f(t)}$ při Laplaceově transformaci je funkce jedné komplexní proměnné ${\displaystyle s}$, často ji značíme ${\displaystyle F(s)}$. Definičním oborem ${\displaystyle F}$ je oblast konvergence integrálu (viz níže).

Funkci ${\displaystyle f(t)}$ nazýváme originálem a funkci ${\displaystyle F(s)}$ obrazem funkce ${\displaystyle f(t)}$.

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace je dána vztahem:

${\displaystyle L^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)e^{st}\,ds={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\{c+iu;\,u\in \mathbb {R} \}}F(s)e^{st}\,ds}$,

kde ${\displaystyle c}$ je libovolné reálné číslo ležící v oblasti konvergence ${\displaystyle F}$ (pak celá přímka ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)=c}$, přes niž se integruje, leží v oblasti konvergence (viz níže)).

Vlastnosti Laplaceovy transformace

Existence

I v případě, že funkce ${\displaystyle f(t)}$ je na celém intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$ spojitá a definovaná, nemusí její obraz existovat. Jestliže totiž má mít definiční integrál konečnou hodnotu, musí ${\displaystyle f(t)}$ splňovat kritérium konvergence

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }|f(t)|e^{-st}=0}$.

Například funkce ${\displaystyle f(t)=e^{t^{2}}}$ tuto podmínku nesplňuje, a proto její obraz neexistuje.

Oblast konvergence

Pro danou funkci ${\displaystyle f}$ se množina hodnot ${\displaystyle s}$, pro něž integrál v Laplaceově transformaci konverguje, nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže integrál konverguje pro ${\displaystyle f}$ v bodě ${\displaystyle s_{0}}$, pak konverguje v každém bodě ${\displaystyle s}$, pro který ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\operatorname {Re} (s_{0})}$. Oblast konvergence Laplaceovy transformace je tedy ${\displaystyle \{s;\operatorname {Re} (s)>R\}}$, kde ${\displaystyle R}$ je dáno chováním funkce ${\displaystyle f(t)}$ pro ${\displaystyle t\to \infty }$.

Vztah k inverzní Laplaceově transformaci

Pro každou funkci ${\displaystyle f}$ takovou, že ${\displaystyle L\{f\}}$ existuje, platí pro skoro všechna ${\displaystyle t}$ (Lerchova věta):

${\displaystyle f(t)=L^{-1}\{L\{f(t)\}\}\,}$

Vztah k derivaci

Výhodou použití Laplaceovy transformace pro počítání diferenciálních rovnic je její vztah k derivaci:

${\displaystyle L\{f^{(n)}\}=s^{n}L\{f\}-s^{n-1}f(0_{+})-\cdots -sf^{(n-2)}(0_{+})-f^{(n-1)}(0_{+})\,}$

Vzorec lze odvodit pomocí integrace per partes a platí právě tehdy, když jednotlivé derivace existují. Tento vztah umožňuje přímé začlenění počátečních podmínek do výpočtu řešení diferenciální rovnice.

Základní vlastnosti Laplaceovy transformace

Pro dané funkce ${\displaystyle f(t)}$ a ${\displaystyle g(t)}$, a jejich příslušné Laplaceovy transformace ${\displaystyle F(s)}$ a ${\displaystyle G(s)}$ následující tabulka shrnuje vlastnosti Laplaceovy transformace:

Vlastnosti jednostranné Laplaceovy transformace

	Vzor	Obraz	Komentář
Linearita	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	Obrazem lineární kombinace vzorů je lineární kombinace obrazů s týmiž koeficienty. Odvodit lze na základě definičního vztahu. Této vlastnosti se využívá při odvozování goniometrických a hyperbolických funkcí.
Derivování podle parametru	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$
Derivování originálu	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0_{+})\ }$	Získá se z integrování per partes. Odčítá se limita funkce zprava v počátku (počáteční podmínka).
Integrování originálu	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =u(t)*f(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	${\displaystyle u(t)}$ je Heavisideova funkce.
Podobnost	${\displaystyle f(at)\ }$	${\displaystyle {1 \over a}F\left({s \over a}\right)}$	${\displaystyle a>0}$
Tlumení	${\displaystyle e^{at}f(t)\ }$	${\displaystyle F(s-a)\ }$
Konvoluce	${\displaystyle (f*g)(t)\ }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
Posunutí (věta o translaci)	${\displaystyle f(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$	Posunutí proměnné ${\displaystyle t}$ v originále o konstantu ${\displaystyle a>0}$ se projeví vynásobením obrazu výrazem ${\displaystyle e^{-as}\ }$