Minimální polynom (lineární algebra)

V lineární algebře se rozumí minimálním polynomem čtvercové matice ${\displaystyle A}$ řádu ${\displaystyle n}$ nad tělesem ${\displaystyle T}$ monický polynom ${\displaystyle p(x)}$ co nejmenšího stupně takový, že ${\displaystyle p(A)=0}$. Každý jiný polynom ${\displaystyle q(x)}$ splňující ${\displaystyle q(A)=O}$ je pak násobkem polynomu ${\displaystyle p}$.

Pro minimální polynom a prvek ${\displaystyle \lambda \in T}$ jsou následující tvrzení ekvivalentní:

1. ${\displaystyle \lambda }$ je kořen ${\displaystyle p(x)}$
2. ${\displaystyle \lambda }$ je kořen charakteristického polynomu matice ${\displaystyle A}$
3. ${\displaystyle \lambda }$ je vlastní číslo matice ${\displaystyle A}$

Z toho nevyplývá, že jsou minimální a charakteristický polynom vždy stejné. Například ${\displaystyle 4I_{n}}$ (čtyřnásobek jednotkové matice řádu ${\displaystyle n}$) má charakteristický polynom ${\displaystyle (x-4)^{n}}$, ale minimální polynom ${\displaystyle x-4}$ (neboť ${\displaystyle 4I_{n}-4I_{n}=0}$), tedy pro ${\displaystyle n\geq 2}$ jsou v tomto případě charakteristický a minimální polynom různé.

Portály: Matematika