Nulová matice

V lineární algebře se pojmem nulová matice označuje matice, která má všechny prvky nulové. Slouží také jako neutrální prvek v aditivní grupě matic daného typu.

Příkladem nulových matic jsou

${\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{1,1}={\begin{pmatrix}0\end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {0}}_{2,2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\ {\boldsymbol {0}}_{2,3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$.

Obvykle se nulová matice značí ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{m,n}}$ nebo jen krátce ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$, pokud je z kontextu jasné že se jedná o matici a její rozměry jsou zřejmé nebo nepodstatné.

Vlastnosti

Nulové matice jsou jediné matice hodnosti 0.

Pro determinant čtvercové nulové matice platí

${\displaystyle \det({\boldsymbol {0}})=0}$.

Součin libovolné matice s nulovou maticí zleva či zprava dává vždy nulovou matici. Přesněji, je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$, pak platí: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {0}}_{n,p}={\boldsymbol {0}}_{m,p}}$ a také ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}_{q,m}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}_{q,n}}$.

Součet libovolné matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ s nulovou maticí ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ stejného typu je vždy matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, neboli: ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {A}}}$.

Zajímavost

Je-li dána konečná množina celočíselných matic ${\displaystyle n\times n}$, je otázkou, zdali je lze vynásobit v nějakém pořadí, případně s opakováním a získat nulovou matici. Tento mortal matrix problem je znám jako jeden z nerozhodnutelných už pro množinu šesti matic řádu 3 nebo pro dvě matice řádu 15.^[1]