Ortogonální funkce

V matematice o dvou funkcích ${\displaystyle f\neq g}$ nějakého vektorového prostoru s definovaným skalárním součinem ve formě integrálu řekneme, že jsou na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ v rámci jejich definičního oboru ortogonální, pokud je jejich vzájemný skalární součin nulový, tj.:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,g(x)\,dx=0}$.

Ortogonální funkce mohou tvořit nekonečnou bázi prostoru funkcí s podobnými vlastnostmi jako má báze vektorů v konečněrozměrném prostoru. Výše uvedený integrál je konceptuálně ekvivalentem skalárního součinu vektorů; dva vektory jsou vzájemně kolmé (ortogonální), pokud je jejich skalární součin nulový.

Předpokládejme, že ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$ je posloupnost ortogonálních funkcí s nenulovými L²-normami ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$. Pak posloupnost ${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}}$ tvořená funkcemi s L²-normou jedna tvoří ortonormální posloupnost. Aby bylo možné definovat L²-normu, musí být integrál omezený, což vyžaduje, aby funkce byly integrovatelné na čtverci.

Systém ortogonálních funkcí s vahou

Systém funkcí ${\displaystyle f_{n}}$ je v intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$ ortogonální s váhou ${\displaystyle w(x)}$, kde ${\displaystyle w(x)\geq 0}$, pokud pro každou dvojici ${\displaystyle f_{i}(x),f_{k}(x)}$ platí

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f_{i}(x)f_{k}(x)\mathrm {d} x=0\;{\mbox{ pro }}i\neq k}$.

Funkci f nazýváme normovanou s váhou ${\displaystyle w(x)}$, jestliže platí

${\displaystyle \int _{a}^{b}w(x)f^{2}(x)\mathrm {d} x=1}$

Systém funkcí ${\displaystyle f_{n}}$ ortogonální s váhou ${\displaystyle w(x)}$, kde každá funkce ${\displaystyle f_{n}}$ je normovaná s váhou ${\displaystyle w(x)}$, nazýváme ortonormální (ortonormovaný) s váhou ${\displaystyle w(x)}$.

Systém ortogonálních funkcí v L2

Systémy ortogonálních funkcí v prostoru ${\displaystyle L_{2}}$ našly praktické uplatnění především v kvantové mechanice.

Funkce ${\displaystyle f,g\in L_{2}(a,b)}$ označujeme jako ortogonální v prostoru ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$ (na intervalu ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$), pokud platí

${\displaystyle (f,g)=0}$,

přičemž skalární součin v předchozím vztahu vyjadřujeme jako

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x=0}$

Funkci f nazýváme normovanou v prostoru ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$, je-li její norma rovna jedné, tzn.

${\displaystyle \|f\|=1}$

Máme-li konečný nebo spočetný systém funkcí ${\displaystyle f_{n}\in L_{2}(a,b)}$, pak říkáme, že tento systém je ortogonální v ${\displaystyle L_{2}(a,b)}$, pokud pro každou dvojici funkcí ${\displaystyle f_{i},f_{k}}$ platí

${\displaystyle (f_{i},f_{k})=0\;{\mbox{ pro }}i\neq k}$.

Je-li navíc každá funkce ${\displaystyle f_{n}}$ normovaná, pak říkáme, že systém funkcí je ortonormovaný (ortonormální). V takovém případě platí

${\displaystyle (f_{i},f_{k})=\delta _{ik}}$,

kde ${\displaystyle \delta _{ik}}$ je Kroneckerovo delta.

Máme-li ortogonální systém funkcí a pro všechny funkce ${\displaystyle f_{n}}$ platí, ${\displaystyle \|f_{n}\|\neq 0}$, pak lze vytvořit ortonormální systém zavedením ${\displaystyle g_{n}(x)={\frac {f_{n}(x)}{\|f_{n}\|}}}$.

Trigonometrické funkce

Podrobnější informace naleznete v článcích Fourierova řada a Harmonická analýza.

Několik sad ortogonálních funkcí se používá jako báze pro aproximaci funkcí. Například sinové funkce ${\displaystyle \sin nx}$ a ${\displaystyle \sin mx}$ jsou ortogonální na intervalu ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi ),}$ pokud ${\displaystyle n\neq m}$ a ${\displaystyle n}$ a ${\displaystyle m}$ jsou kladná celá čísla. Pak

${\displaystyle 2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right)}$

a integrál součinu dvou funkcí sinus bude mít nulovou hodnotu.^[1] Složením těchto ortogonálních funkcí s kosinovými funkcemi vzniknou trigonometrické polynomy, které lze použít pro aproximaci libovolné funkce na daném intervalu pomocí Fourierovy řady.

Polynomy

Podrobnější informace naleznete v článku Ortogonální polynomy.

Pokud vyjdeme od posloupnosti monomů ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ a použijeme Gramovu–Schmidtovu ortogonalizaci, dostaneme posloupnost Legendrových polynomů. Jiným systémem ortogonálních polynomů jsou přidružené Legendrovy polynomy.

Při studiu ortogonálních polynomů hrají důležitou roli váhové funkce ${\displaystyle w(x),}$ které se vyskytují v bilineární formě:

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}$

Pro Laguerrovy polynomy na ${\displaystyle (0,\infty )}$ je váhová funkce ${\displaystyle w(x)=e^{-x}}$.

Fyzikové i teoretici v teorii pravděpodobnosti používají Hermitovy polynomy na intervalu ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ s váhovou funkcí ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ nebo ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2}}$.

Čebyševovy polynomy jsou definovány na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ a používají váhové funkce ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ nebo ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$.

Zernikeovy polynomy jsou definovány na jednotkovém kruhu a mají ortogonální jak radiální tak angulární složky.

Diskrétní funkce

Walshovy funkce a Haarovy vlnky jsou příkladem ortogonálních funkcí s diskrétním oborem hodnot.

Racionální funkce

Graf Čebyševových racionálních funkcí řádu n=0,1,2,3 a 4 mezi x=0.01 a 100.

Legendrovy a Čebyševovy polynomy jsou posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle .}$ Někdy jsou potřeba posloupnosti ortogonálních funkcí na intervalu ${\displaystyle \langle 0,\infty )}$. V tomto případě je pohodlné transformovat argument do intervalu ${\displaystyle \langle -1,1\rangle }$ použitím Cayleyovy transformace. Tento postup vede k rodině racionálních ortogonálních funkcí, které se nazývají Legendrovy racionální funkce a Čebyševovy racionální funkce.

V diferenciálních rovnicích

Řešení lineární diferenciální rovnice s okrajovými podmínkami lze často zapsat jako vážený součet ortogonálních funkcí, které jsou řešením této rovnice (nazývaných také vlastní funkce), což vede k zobecněným Fourierovým řadám.