Tangens

Tangens je goniometrická funkce úhlu. Zapisuje se jako ${\displaystyle {\mbox{tg }}\varphi }$ (${\displaystyle \tan \varphi }$), kde ${\displaystyle \varphi }$ je velikost úhlu. Pro ostré úhly je definována v pravoúhlém trojúhelníku jako poměr délek protilehlé a přilehlé odvěsny.^[1] Definici lze konzistentně rozšířit z oboru reálných čísel do oboru komplexních čísel.

Tangens v reálném oboru

Jedna perioda funkce tangens

Funkce ${\displaystyle y={\mbox{tg }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}}$ má následující vlastnosti (kde ${\displaystyle k}$ je libovolné celé číslo):

• Definiční obor: ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \left\{{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right\}}$
• Obor hodnot: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (reálná čísla)
• Rostoucí: v intervalu ${\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ;{\frac {\pi }{2}}+k\pi \right)}
• Derivace: ${\displaystyle ({\mbox{tg }}x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}$
• Integrál: ${\displaystyle \int {\mbox{tg }}x\,\mathrm {d} x=-\ln |\cos x|+c}$
• Taylorova řada: ${\displaystyle {\mbox{tg }}x\,=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}A_{2n+1}}$,

kde ${\displaystyle |x|<{\frac {\pi }{2}}}$ a ${\displaystyle A_{2n+1}}$ je tzv. tangentové číslo ^[2]

• Inverzní funkce: na ${\displaystyle \mathbb {R} }$ a oborem hodnot ${\displaystyle (-{\frac {1}{2}}\pi$ ;{\frac {1}{2}}\pi )} : Arkus tangens (arctg)
• Grafem funkce je tangentoida
• Tangens doplňkového úhlu: ${\displaystyle {\mbox{tg }}({\frac {\pi }{2}}-x)={\mbox{cotg }}x}$
• funkce tangens je:
  • lichá
  • neomezená
  • periodická s periodou ${\displaystyle \pi }$

Tangens v komplexním oboru

Pro komplexní číslo ${\displaystyle z\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi }$, kde ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, platí:^{[pozn. 1]}

${\displaystyle {\mbox{tg }}z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}{\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}}={\frac {1}{i}}{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{e^{iz}+e^{-iz}}}={\frac {1}{i}}{\frac {e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}}=-i{\frac {e^{2iz}-1}{e^{2iz}+1}}}$

Funkce tangens je holomorfní v celém svém definičním oboru, tedy v množině ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \left\{{\pi \over 2}+k\pi ;k\in \mathbb {Z} \right\}}$.

Tangens na jednotkové kružnici

tg θ na jednotkové kružnici

Graf funkce tangens

Tangens se jednoduše definuje na jednotkové kružnici (kružnici se středem v počátku a s poloměrem jedna): Je-li v průsečíku jednotkové kružnice s kladnou poloosou ${\displaystyle x}$ vztyčena tečna k této kružnici (kolmá na osu ${\displaystyle x}$), je ${\displaystyle {\mbox{tg }}\alpha }$ rovna ${\displaystyle y}$-ové souřadnici průsečíku této tečny s přímkou koncového ramene úhlu ${\displaystyle \alpha }$ s počátečním ramenem v kladné poloose ${\displaystyle x}$ (orientovaného od kladné poloosy ${\displaystyle x}$ proti směru hodinových ručiček), jinak řečeno, vzdálenost tohoto průsečíku od osy ${\displaystyle x}$ se (v absolutní hodnotě) rovná ${\displaystyle {\mbox{tg }}\alpha }$.

Z geometrické definice je také vidět, že tangens je v prvním a třetím kvadrantu nezáporná (${\displaystyle \geq 0}$), ve druhém a čtvrtém nekladná (${\displaystyle \leq 0}$) a pro úhly ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ a ${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$ není definován, protože průsečík s tečnou neexistuje.

Orientovaný úhel lze rozšířit na všechna reálná čísla předpisem ${\displaystyle \alpha +k\cdot \pi }$ v úhlové míře resp. ${\displaystyle \alpha +k\cdot 180^{\circ }}$ v míře stupňové, kde ${\displaystyle k}$ je celé číslo. Tangens lze tedy konzistentně definovat jako funkci na celé množině reálných čísel.

Poznámky

1. např. pro ${\displaystyle z={\frac {\pi }{2}}}$, dostaneme ${\displaystyle e^{2iz}=e^{i\pi }=(\cos \pi +i\sin \pi )=-1}$, tj. ${\displaystyle e^{2iz}+1=0}$