Tenzor energie a hybnosti

Tenzor energie a hybnosti je kvantitativní tenzor ve fyzice, který popisuje hustotu a tok energie a hybnosti v prostoročasu. Zevšeobecňuje tenzor napětí z newtonovské fyziky. Je to atribut hmoty, záření a negravitačních silových polí. Tenzor energie a hybnosti je zdrojem gravitačního pole v Einsteinových rovnicích obecné teorie relativity, podobně jako je hustota hmoty zdroje tohoto pole v newtonovské gravitaci.

Definice

Tenzor energie a hybnosti zahrnuje použití proměnných v horním indexu. Jsou-li použity kartézské souřadnice v jednotkách SI, pak jsou složky polohy čtyřvektoru dány: x⁰ = t, x¹ = x, x² = y, and x³ = z, kde t je čas v sekundách, a x, y, a z jsou vzdálenosti v metrech.

Tenzor energie a hybnosti je definován jako tenzor T^αβ druhého řádu, který udává α-tou složku vektoru hybnosti povrchu s konstantními x^β souřadnicemi. V teorii obecné relativity je tento vektor brán jako čtyřhybnost. V obecné relativitě je tenzor energie a hybnosti symetrický,^[1]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$

V některých alternativních teoriích jako jsou Einsteinova-Cartanova teorie, nemusí být tenzor energie a hybnosti dokonale symetrický z důvodu nenulového spinového tenzoru, který geometricky odpovídá na nenulový torzní tenzor.

Identifikace částí tenzoru

Vzhledem k tomu, že tenzor energie a hybnosti je tenzorem druhého řádu, jeho složky mohou být zobrazeny v podobě 4x4 matice:

${\displaystyle (T^{\mu \nu })_{\mu ,\nu =0,1,2,3}={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}.}$

V následujícím, i a k rozmezí od 1 do 3.

Složka čas-čas je hustotou relativistické hmotnosti, to je hustota energie dělená rychlostí světla na druhou. ^[2] To má zvláštní význam, protože to má jednoduchou fyzikální interpretaci. V případě dokonalé tekutiny je tato složka:

${\displaystyle T^{00}=\rho ,}$

a elektromagnetické pole v jinak prázdném prostoru je:

${\displaystyle T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),}$

kde E a B jsou elektrické a magnetické pole. ^[3]

Tok relativistické hmotnosti přes xⁱ povrch je ekvivalentem hustoty i-té složky hybnosti:

${\displaystyle T^{0i}=T^{i0}.}$

Složky

${\displaystyle T^{ik}}$

reprezentují tok i-té složky hybnosti přes x^k povrch. Zejména

${\displaystyle T^{ii}}$

představují normálové napětí, které se nazývá tlakem, je-li nezávislé na směru. Zbývající složky

${\displaystyle T^{ik}\quad i\neq k}$

představují smykové napětí.

Ve fyzice pevných látek a mechanice tekutin, je tenzor hybnosti definován jako prostorová složka tenoru energie a hybnosti ve správném referenčním rámci.

Kovariantní a smíšené formy

Většina článku pracuje s kontravariantní formou T^μν tenzoru energie a hybnosti. Nicméně často je nutné pracovat i s kovariantní formou

${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$

nebo smíšenou formou

${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },}$

nebo smíšeným tenzorem hustoty

${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.}$

Článek používá prostorupodobnou konvenci značení (−+++) pro metrický zápis.

Zákony zachování

Speciální relativita

Tenzor energie a hybnosti je konzervovaný proud Noetherové spojený s prostoročasovými translacemi.

Divergence negravitační 4-hybnosti je nulová. Jinými slovy, negravitační energie a hybnost jsou zachovány

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!}$

Při zanedbatelné gravitaci a použití kartézských souřadnic pro prostoročas, mohou být vyjádřeny jako parciální diferenciální rovnice

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!}$

Z toho je integrální forma

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!}$

kde N je jakákoli kompaktní čtyřrozměrná prostoročasová oblast, ${\displaystyle \partial N}$ je její hranice, trojrozměrný nadpovrch, a ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$ je prvek hranice považovaný za vnější normální ukazatel.

V plochém prostoročasu s Kartézskými souřadnicemi, lze ukázat, že zkombinováním se symetrií tenzoru energie a hybnosti, se moment hybnosti také zachovává:

${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!}$

Obecná relativita

Pokud není gravitace zanedbatelná nebo při použití libovolných souřadnicových systémů, divergence 4-hybnosti stále mizí. V tomto případě ale zahrnuje volná definice souřadnic divergence použití kovariantní derivace.

${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

kde ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$ je Christoffelův symbol, který reprezentuje gravitační silové pole.

V důsledku toho, je-li ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$ jakékoli Killingovo vektorové pole, může být zákon zachování spojený se symetrií vytvořenou Killingovým vektorovým polem vyjádřen jako

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu })}$

Z toho integrální forma je

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

Obecná relativita

V obecné relativitě působí tenzor energie a hybnosti jako zdroj zakřivení prostoročasu a je hustotou proudu spojenou s kalibračními transformacemi gravitace, což jsou obecně zakřivené transformace souřadnic. Pokud je tenzor energie a hybnosti torzní, pak již tenzor není symetrický, což odpovídá případu s nenulovým spinovým tenzorem v Einsteinově-Cartanově teorii gravitace.

V obecné relativitě jsou parciální derivace používané ve speciální relativitě nahrazeny kovariantními derivacemi. To znamená, že z rovnice kontinuity již nevyplývá, že negravitační energie a hybnost vyjádřené tenzorem se zcela zachovávají. To znamená, že gravitační pole může konat práci v hmotě a naopak. V klasické limitě Newtonovy gravitace to má jednoduchou interpretaci, energie je vyměňována s gravitační potenciální energií, která není zahrnuta v tenzoru energie a hybnosti a hybnost je přenášena přes pole na jiné objekty. V obecné relativitě je Landaův-Lifšicův pseudotenzor unikátním způsobem, jak definovat energii gravitačního pole a hustoty hybnosti. Jakýkoli takový pseudotenzor energie a hybnosti může zrušit místní transformace souřadnic.

V zakřiveném prostoročasu závisí prostorupodobný integrál obecně na prostorupodobném řezu. Ve skutečnosti není k dispozici žádný způsob jak definovat vektor globální energie-hybnosti v zakřiveném prostoročasu.

Einsteinovy polní rovnice

V obecné relativitě je tenzor hybnosti studován v souvislosti s Einsteinovými polními rovnicemi, které jsou často psány jako

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}$

kde ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ je Ricciho tenzor, ${\displaystyle R}$ je Ricciho skalár, ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ je metrický tenzor, a ${\displaystyle G}$ je gravitační konstanta.

Hybnost-energie ve speciálních situacích

Izolovaná částice

Ve speciální teorii relativity, hybnost-energie neinteragující částice o hmotnosti m a trajektorii ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$ je:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))=E{\frac {v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{c^{2}}}\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$

kde ${\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}\!}$ je vektor rychlosti (nemělo by být zaměňováno s čtyřrychlostí)

${\displaystyle (v^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$

δ je Diracovo delta a ${\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ je energie částice.

Hybnost-energie kapaliny v rovnováze

Pro dokonalou tekutinu v termodynamické rovnováze nabývá tenzor energie a hybnosti jednoduché formy

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$

kde ${\displaystyle \rho }$ je hustota hmoty-energie (kilogramy na metr krychlový), ${\displaystyle p}$ je hydrostatický tlak, ${\displaystyle u^{\alpha }}$ je čtyřrychlost tekutiny a ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ je převrácená hodnota metrického tenzoru.

Čtyřrychlost splňuje

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$

V inerciální vztažné soustavě pohybující se s tekutinou, lépe známé jako vlastní referenční rámec tekutiny je čtyřrychlost

${\displaystyle (u^{\alpha })_{\alpha =0,1,2,3}=(1,0,0,0)\,,}$

převrácená hodnota metrického tenzoru je

${\displaystyle (g^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}\,=\left({\begin{matrix}-c^{-2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$

a tenzor energie a hybnosti je diagonální matice

${\displaystyle (T^{\alpha \beta })_{\alpha ,\beta =0,1,2,3}=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

Elektromagnetický tenzor energie a hybnosti

Hilbertův tenzor energie a hybnosti volného zdroje elektromagnetického pole je

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

kde ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$ je elektromagnetický polní tenzor.

Skalární pole

Tenzor energie a hybnosti pro skalární pole ${\displaystyle \phi }$, které splňuje Kleinovu–Gordonovu rovnici je

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta })\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi .}$

Varianty definice hybnosti-energie

Existuje celá řada neekvivalentních definic negravitační hybnosti-energie:

Hilbertův tenzor energie a hybnosti

Je definován jako derivace zobrazení

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }{\sqrt {-g}})}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }.}$

kde ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$ je negravitační část Lagrangiánu hustoty akce. Je symetrický a kalibračně invariantní.

Kanonický tenzor energie a hybnosti

Teorém Noetherové implikuje, že existuje zachovávající se proud spojený s translacemi v prostoru a čase. Tento jev se nazývá kanonickým tenzorem energie a hybnosti. Obecně platí, že není symetrický a pokud máme kalibrační teorii, nemůže být kalibračně invariantní, protože prostor závislý na kalibračních transformacích nekomutuje s prostorovými translacemi.

V obecné relativitě respektují translace souřadnicový systém a jako takové nejsou transformačně kovariantní.

Belifanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti

V přítomnosti spinu či jiného vnitřního momentu hybnosti nemůže být kanonický Noetherové tenzor energie a hybnosti symetrický. Belinfanteův-Rosenfeldův tenzor energie a hybnosti je konstruován z kanonického tenzoru energie a hybnosti a spinového proudu takovým způsobem, aby byl symetrický a stále dodržoval zachování. V obecné relativitě souhlasí tento modifikovaný tenzor s Hilbertovým tenzorem energie a hybnosti.

Gravitační hybnost-energie

Podle principu ekvivalence bude gravitační hybnost-energie vždy lokálně mizet ve vybraném bodě ve zvoleném rámci, tedy gravitační hybnost-energie nemůže být vyjádřena nenulovým tenzorem. Místo toho musíme použít pseudotenzor.

V obecné relativitě existuje mnoho možných definic pseudotenzoru gravitační hybnosti-energie. Patří mezi ně Einsteinův pseudotenzor nebo Landaův-Lifšicův pseudotenzor. Landaův-Lifšicův pseudotenzor může být redukován na nulu v jakékoli události prostoročasu použitím vhodného souřadnicového systému.