Variace konstant

Metoda variace konstant nebo variace parametrů je v matematice obecná metoda řešení nehomogenních lineárních obyčejných diferenciálních rovnic.

U rovnic prvního řádu je obvykle snazší hledat řešení metodou integračních faktorů nebo neurčitých koeficientů. Tyto metody však využívají heuristiky, které zahrnují hádání, a nefungují pro všechny nehomogenní lineární diferenciální rovnice.

Metodu variace konstant lze použít i pro lineární parciální diferenciální rovnice, konkrétně pro nehomogenní problémy u rovnic s lineárním rozvojem, jako je rovnice vedení tepla, vlnová rovnice a rovnice kmitající desky. V těchto případech je metoda známější pod názvem Duhamelův princip, podle Jean-Marie Duhamela, který ji poprvé použil na řešení nehomogenní rovnice vedení tepla. Někdy je přímo variace parametrů nazývána Duhamelův princip a naopak.

Historie

Metodu variace konstant poprvé použil švýcarský matematik Leonhard Euler (1707–1783) a rozpracoval italsko-francouzský matematik Joseph Louis Lagrange (1736–1813)^[1]. Předchůdce metody variace dráhových parametrů nebeských těles se objevil v Eulerově práci v roce 1748, kdy studoval vzájemné poruchy pohybu Jupitera a Saturna^[2]. Při studiu pohybu Země v roce 1749 získal Euler diferenciální rovnice pro dráhové parametry^[3] a v roce 1753 aplikoval tuto metodu na své studium pohybu Měsíce^[4]. Lagrange první použil tuto metodu v roce 1766^[5]. V letech 1778–1783 Lagrange metodu dále rozvinul jak v řadě monografií o poruchách pohybu planet^[6], tak v další řadě prací o určování drah komet ze tří pozorování^[7]. (Je třeba zmínit, že Euler a Lagrange aplikovali tuto metodu na nelineární diferenciální rovnice, a že místo variací koeficientů v lineární kombinaci řešení homogenní rovnice aplikovali variace na konstanty v rovnicích nerušených pohybů nebeských těles^[8]). Během let 1808–1810 dal Lagrange metodě variace parametrů její konečnou podobu v řadě prací^[9]. Hlavním výsledkem jeho studia byl systém planetárních rovnic v Lagrangeově tvaru, který popisuje rozvoj Keplerovských dráhových parametrů pohybu tělesa rušeného dalšími tělesy.

Ve svém popisu rozvojů drah Lagrange vycházel ze zjednodušeného problému dvou těles pro získání nerušeného řešení a předpokládal, že všechny poruchy pocházejí z gravitačního působení ostatních těles na obíhající těleso. Následkem toho jeho metoda předpokládá, že poruchy závisí pouze na poloze obíhajícího tělesa, ne na jeho rychlosti. Od 20. století se v nebeské mechanice uvažují interakce, které závisí nejen na polohách ale i rychlostech (relativistické korekce, odpor atmosféry, inerciální síly). Proto byla metoda variace parametrů používaná Lagrangem rozšířena na situace se silami závislými na rychlosti^[10].

Popis metody

Je-li dána obyčejná nehomogenní lineární diferenciální rovnice řádu n

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(i)}}}$

nechť ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$ je fundamentální systém řešení odpovídající homogenní rovnici

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.\quad \quad {\rm {(ii)}}}$

Pak určité řešení nehomogenní rovnice je

${\displaystyle y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)\quad \quad {\rm {(iii)}}}$

kde ${\displaystyle c_{i}(x)}$ jsou derivovatelné funkce, tj. předpokládá se, že vyhovují podmínce

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0\,\mathrm {,} \quad j=0,\ldots ,n-2.\quad \quad {\rm {(iv)}}}$

začínáme s (iii), opakovaná diferenciace kombinovaná s opakovaným použitím (iv) dává

${\displaystyle y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x)\,\mathrm {,} \quad j=0,\ldots ,n-1\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(v)}}}$

Poslední diferenciace dává

${\displaystyle y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(vi)}}}$

Substitucí (iii) do (i) a použitím (v) a (vi) dostáváme, že

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(vii)}}}$

Lineární systém (iv a vii) n-té rovnice pak lze vyřešit pomocí Cramerova pravidla, což dává

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

kde ${\displaystyle W(x)}$ je Wronskián fundamentálního systému a ${\displaystyle W_{i}(x)}$ je Wronskián fundamentálního systému s i-tým sloupcem nahrazeným ${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

Určité řešení nehomogenní rovnice lze pak psát jako

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\mathrm {d} x.}$

Příklady

Zvláštní rovnice druhého řádu

Máme řešit rovnici

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh {x}.\;\!}$

nejdříve najdeme obecné řešení diferenciální rovnice, to jest řešení homogenní diferenciální rovnice

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.\;\!}$

určíme kořeny charakteristické rovnice

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0\;\!}$

${\displaystyle \lambda =-2.\;\!}$

protože řešením je vícenásobný kořen, musíme zavést faktor x pro jedno řešení pro zajištění lineární nezávislosti.

Tak získáme u₁ = e^−2x a u₂ = xe^−2x. Wronskián těchto dvou funkcí je

${\displaystyle {\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}}$

${\displaystyle =-e^{-4x}(2x-1)+2xe^{-4x}=(-2x+1+2x)e^{-4x}=e^{-4x}.\;\!}$

Protože Wronskián je nenulový, funkce jsou lineárně nezávislé, takže jsme získali přímo obecné řešení homogenní diferenciální rovnice (nejen jeho podmnožinu).

Hledáme funkce A(x) a B(x), tak že A(x)u₁ + B(x)u₂ je obecné řešení nehomogenní rovnice. Potřebujeme pouze vypočítat integrály

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

to jest,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh {x}\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}}$

kde ${\displaystyle C_{1}}$ a ${\displaystyle C_{2}}$ jsou integrační konstanty.

Obecné rovnice druhého řádu

Máme diferenciální rovnici tvaru

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)\,}$

a definujeme lineární operátor

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)\,}$

kde D reprezentuje diferenciální operátor. Proto máme jak řešit rovnice ${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$ pro ${\displaystyle u(x)}$, kde ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle f(x)}$ jsou známé.

Musíme vyřešit první odpovídajícím homogenní rovnici:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0\,}$

libovolnou technikou, kterou si vybereme. Jakmile budeme mít dvě lineárně nezávislá řešení této homogenní diferenciální rovnice (protože se jedná o rovnici druhého řádu) — označíme je u₁ a u₂ — můžeme využít metodu variace konstant.

Od tohoto okamžiku tedy hledáme obecné řešení diferenciální rovnice ${\displaystyle u_{G}(x)}$, o němž předpokládáme, že je tvaru

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).\,}$

kde ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou neznámé funkce a ${\displaystyle u_{1}(x)}$ a ${\displaystyle u_{2}(x)}$ jsou řešení na homogenní rovnice. Všimněte si, že jestliže ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou konstantní, pak ${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$. Požadujeme, aby A=A(x) a B=B(x) byla tvaru

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.\,}$

Nyní,

${\displaystyle u_{G}'(x)=(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x))'=(A(x)u_{1}(x))'+(B(x)u_{2}(x))'\,}$

${\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}$

${\displaystyle =A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\,}$

a díky platnosti výše uvedené podmínky dostáváme

${\displaystyle u_{G}'(x)=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x).\,}$

Dalším derivováním (mezikroky nejsou uvedeny)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

Nyní můžeme zapsat použití L na u_G jako

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

Protože u₁ a u₂ jsou řešení, pak

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).\,}$

dostáváme systém rovnic

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

roznásobením dostaneme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

Takže výše uvedený systém určuje právě podmínku

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0\,}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.\,}$

Hledáme A(x) a B(x) z této podmínky, tak, daný

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

můžeme řešit pro (A′(x), B′(x))^T, tak

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={1 \over W}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}},}$

kde W označuje Wronskián u₁ a u₂. (Z předpokladu, že u₁ a u₂ jsou lineárně nezávislé, víme, že W je nenulový.)

Tedy

${\displaystyle A'(x)=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),\;B'(x)={1 \over W}u_{1}(x)f(x)}$

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x.}$

Zatímco homogenní rovnice lze řešit relativně snadno, tato metoda umožňuje výpočet koeficientů obecného řešení nehomogenní rovnice a tedy umožňuje zjistit úplné obecné řešení nehomogenní rovnice.

Všimněte si, že ${\displaystyle A(x)}$ a ${\displaystyle B(x)}$ jsou vesměs určeny až na aditivní konstantu (integrační konstanta); očekávali bychom dvě integrační konstanty, protože původní rovnice byla druhého řádu. Přidáním konstanty k ${\displaystyle A(x)}$ nebo ${\displaystyle B(x)}$ se hodnota ${\displaystyle Lu_{G}(x)}$ nezmění, protože ${\displaystyle L}$ je lineární.